17. INITIATION.~~~ PROBLÈMES
MAL POSÉS : É QUATIONS INTÉGRALES,
b - Exemple 2 - Si F, espace des fonctions continues sur (a, b), est muni de la métrique :
PF(Zl,&) = SUP 121(x) - z2(.x)I
on peut choisir l’ensemble 4 des fonctions de carré sommable qui admettent des dérivées jusqu’à
l’ordre p sur (a, b) ( esp ace de Sobolev (1908&1989) IV.) muni de la rnétrique :
expression dans laquelle les qk:(z) sont des fonctions continues connues > 0, avec toutefois
qp(z) > 0. On aura donc :
et comme la solution régularisée z, minimise la fonctionnelle Aabilisante 0(z) avec la contrainte
p,(Az,, ug) = 6, alors, la solution sera approchée par les fonctions les plus lisses jusqu’k l’ordre p.
Les stabilisateurs s’appellent dans ce cas stabilisateurs d’ordre p, et si les fonctions sk(zr) sont
des coefficients constants 2 0, on parle alors de stabilisateurs d’ordre p à cocfficicnts constants.
4.3. Recherche de la solution régularisée sous forme d’une série
On suppose ici que A est un opérateur complètement continu de F dans U, et que U et F sont
des espaces hilbertiens. En outre, on suppose que le sous-ensemble 4 de F est aussi un espace
hilberticn qui est muni de la métrique majorantc 11~11 p our laquelle l’ensemble des éléments . z
de 4, tels que Ilzl1 5 d, est compact dans F. On peut alors prendre comme stabilisateur la
fonctionnelle :
Q(Z) = 1142~
Puisqu’il s’agit d’un problème variationnel, on écrit l’équation d’Euler associée à la fonctionnelle lissante Me (z, u). On montre qu’elle se met sous la forme :
A*Az + az = A*u,
où A*A est un opérateur auto-adjoint.
Si l’on désigne par {fk} un système complet de l’opérateur A*A (vecteurs propres) et par
{Xk} les valeurs propres associées, on peut mettre A*u sous la forme d’une série :
et z sous la forme :
expression dans laquelle les {bk} sont donnés par les expressions :
MAL POSÉS : É QUATIONS INTÉGRALES,
b - Exemple 2 - Si F, espace des fonctions continues sur (a, b), est muni de la métrique :
PF(Zl,&) = SUP 121(x) - z2(.x)I
on peut choisir l’ensemble 4 des fonctions de carré sommable qui admettent des dérivées jusqu’à
l’ordre p sur (a, b) ( esp ace de Sobolev (1908&1989) IV.) muni de la rnétrique :
expression dans laquelle les qk:(z) sont des fonctions continues connues > 0, avec toutefois
qp(z) > 0. On aura donc :
et comme la solution régularisée z, minimise la fonctionnelle Aabilisante 0(z) avec la contrainte
p,(Az,, ug) = 6, alors, la solution sera approchée par les fonctions les plus lisses jusqu’k l’ordre p.
Les stabilisateurs s’appellent dans ce cas stabilisateurs d’ordre p, et si les fonctions sk(zr) sont
des coefficients constants 2 0, on parle alors de stabilisateurs d’ordre p à cocfficicnts constants.
4.3. Recherche de la solution régularisée sous forme d’une série
On suppose ici que A est un opérateur complètement continu de F dans U, et que U et F sont
des espaces hilbertiens. En outre, on suppose que le sous-ensemble 4 de F est aussi un espace
hilberticn qui est muni de la métrique majorantc 11~11 p our laquelle l’ensemble des éléments . z
de 4, tels que Ilzl1 5 d, est compact dans F. On peut alors prendre comme stabilisateur la
fonctionnelle :
Q(Z) = 1142~
Puisqu’il s’agit d’un problème variationnel, on écrit l’équation d’Euler associée à la fonctionnelle lissante Me (z, u). On montre qu’elle se met sous la forme :
A*Az + az = A*u,
où A*A est un opérateur auto-adjoint.
Si l’on désigne par {fk} un système complet de l’opérateur A*A (vecteurs propres) et par
{Xk} les valeurs propres associées, on peut mettre A*u sous la forme d’une série :
et z sous la forme :
expression dans laquelle les {bk} sont donnés par les expressions :