MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Dans le cas général, il est possible de montrer que, plutôt que de chercher à minimiser la
fonctionnelle stabilisatrice n(z) sur F~J, il est équivalent de chercher à minimiser R(z) sur FI
avec la contrainte :
Ce problème se traite au moyen de la méthode des multiplicateurs de Lagrange (1736-1813).
Autrement dit, nous minimisons la fonctionnelle suivante :
cependant, il faut qu’il existe un paramètre Q et un élément z, tels que non seulement Ma(~, ug)
atteigne sa borne inférieure, mais encore qui assurent la condition :
On peut introduire formellement la fonctionnelle Ma(z) ug) et chercher l’élément z, susceptiblc de constituer le minimum sur FI et alors, le parametrc cy qu’il convient de déterminer
se présente comme une fonction de 6. D’une façon générale, McX( z, ~6) s’appelle fonctionnelle
lissante.
Il est tout à fait équivalent de considérer que z,, est domk par l’application dkm certain
opérateur R[us, a(S)] dkpcndant de tel que :
où Q se détermine au moyen du résidu comme on lc verra dans le paragraphe 4.4 qui suit.
Le choix de la fonctionnelle stabilisatrice est guidé par la nature du problème à traiter et cela
sera mis en évidence sur les exemples que nous présenterons.
4.2. Théorème important (sans démonstration)
Si un sous-ensemble 4 de F admet une métrique P+(~I, ~2) qui majore la métrique PF(z~,z~): il
est possible de montrer que, sous réserve que la sphère p+(z, 20) 5 p (de centre 20) soit compacte
dans F, il existe alors un élément z, appartenant à 4 qui minimise la fonctionnelle :
a - Exemple 1 - Si F est muni de la métrique :
pour ~ 1 : appartenant à (a, b), il est possible de choisir l’ensemble 4 des fonctions continûment
dérivables sur (a, b) muni de la métrique :
pour Ic appartenant à (a, b).
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Dans le cas général, il est possible de montrer que, plutôt que de chercher à minimiser la
fonctionnelle stabilisatrice n(z) sur F~J, il est équivalent de chercher à minimiser R(z) sur FI
avec la contrainte :
Ce problème se traite au moyen de la méthode des multiplicateurs de Lagrange (1736-1813).
Autrement dit, nous minimisons la fonctionnelle suivante :
cependant, il faut qu’il existe un paramètre Q et un élément z, tels que non seulement Ma(~, ug)
atteigne sa borne inférieure, mais encore qui assurent la condition :
On peut introduire formellement la fonctionnelle Ma(z) ug) et chercher l’élément z, susceptiblc de constituer le minimum sur FI et alors, le parametrc cy qu’il convient de déterminer
se présente comme une fonction de 6. D’une façon générale, McX( z, ~6) s’appelle fonctionnelle
lissante.
Il est tout à fait équivalent de considérer que z,, est domk par l’application dkm certain
opérateur R[us, a(S)] dkpcndant de tel que :
où Q se détermine au moyen du résidu comme on lc verra dans le paragraphe 4.4 qui suit.
Le choix de la fonctionnelle stabilisatrice est guidé par la nature du problème à traiter et cela
sera mis en évidence sur les exemples que nous présenterons.
4.2. Théorème important (sans démonstration)
Si un sous-ensemble 4 de F admet une métrique P+(~I, ~2) qui majore la métrique PF(z~,z~): il
est possible de montrer que, sous réserve que la sphère p+(z, 20) 5 p (de centre 20) soit compacte
dans F, il existe alors un élément z, appartenant à 4 qui minimise la fonctionnelle :
a - Exemple 1 - Si F est muni de la métrique :
pour ~ 1 : appartenant à (a, b), il est possible de choisir l’ensemble 4 des fonctions continûment
dérivables sur (a, b) muni de la métrique :
pour Ic appartenant à (a, b).
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