17. INITIATION
AUX
PROBLE~~E~
MAL
~0sÉs
: ÉQUATIONS INTÉGRALES,
n’approche pas la solution z,:, Pour pallier cet inconvénient, on définit un opérateur rkgularisant
qui dépend de S, de telle sorte que, si uap t,end vers u,, c’est-à-dire que S tend vers zéro cela
doit entraîner que z,[, tend vers z,, dans les métriques appropriks.
Définition - On dit que l’opérateur R(u, 6) est rkgularisant dans le voisinage dc u = u,:.~ pour
l’équation AZ = U, s’il possède les propriétés suivantes :
1. Il existe 61 > 0 tel que R(u, d) soit, Mini quel que soit 6 t (O,Sl) ct pour tout ug tel que
2. Quel que soit E > 0, il existe &(E, u,:,) < S1 tel que l’inégalité :
On note que nous ne faisons pas l’hypothèse d’un opérateur univoque, il peut cxistcr un
ensemble {R(us, 6)) et ~6 est un de ces éléments.
À la place de 6, on peut substituer un paramètre de régularisation notk (v ((Y > 0), qui permet
d’apporter une définition plus commode.
a. R(u, a!) est défini quel que soit (1 > 0 et pour tout YJ E U tel que :
b. Il existe d’une part Q fonction dc S tel que, quel que soit, E > 0, et il existe d’autre part
S(E) 5 61 tel que si us E U et p,(u,,,,ug) < b(E), cela entraîne :
On choisit comme solution approchée la solution ZJ obtenue au moyen de l’équation ~6 =
R[U~; o!(6)], équation dans laquelle le paramètre rkgularisant est lik à l’erreur entachant les
données initiales ‘ut.
Il nous reste donc à chercher des opérateurs régularisants et à définir le paramètre a
connaissant l’erreur 6 entachant le deuxième rnernbre.
Nous n’allons pas rentrer dans les détails de l’obtention d’opkrateurs régularisants dont nous
donnerons quelques exemples en nous lirnitant aux idées générales. La construction d’opérateurs
régularisants est fondée sur le principe variationnel qui minimise une fonctionnelle stabilisatrice
O(Z) non négative continue et définie sur un sous-ensemble FI dense partout sur F. En outre:
cette fonctionnelle est telle que l’ensemble des éléments z de FI pour lesquels C?(Z) < 6 quel que
soit, 0,~ > 0 est un compact sur FI. On cherche la solution approchée dans l’ensemble M de F
te1 q11e :
comme la solution n’est pas continue en 6, on ne peut pas retenir un élément arbitraire dc M. En
général, M est très grand ct c’est notre principe de sélection variationnel qui va nous permettre
de choisir un ou plusieurs éléments de M qui dépendent continûment de 6.
Revenons
à notre fonctionnelle stabilisatrice O(Z) définie sur l’ensemble FI de F et désignons
par F~A l’ensernblc des éléments de M sur lequel C!(Z) est défini ; nous pouvons écrire : F~A =
M n Fl. L’exploitation du principe de sélection consiste à rechercher les klérnents dc FIS qui
minimisent la fonctionnelle 0( 2).
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PROBLE~~E~
MAL
~0sÉs
: ÉQUATIONS INTÉGRALES,
n’approche pas la solution z,:, Pour pallier cet inconvénient, on définit un opérateur rkgularisant
qui dépend de S, de telle sorte que, si uap t,end vers u,, c’est-à-dire que S tend vers zéro cela
doit entraîner que z,[, tend vers z,, dans les métriques appropriks.
Définition - On dit que l’opérateur R(u, 6) est rkgularisant dans le voisinage dc u = u,:.~ pour
l’équation AZ = U, s’il possède les propriétés suivantes :
1. Il existe 61 > 0 tel que R(u, d) soit, Mini quel que soit 6 t (O,Sl) ct pour tout ug tel que
2. Quel que soit E > 0, il existe &(E, u,:,) < S1 tel que l’inégalité :
On note que nous ne faisons pas l’hypothèse d’un opérateur univoque, il peut cxistcr un
ensemble {R(us, 6)) et ~6 est un de ces éléments.
À la place de 6, on peut substituer un paramètre de régularisation notk (v ((Y > 0), qui permet
d’apporter une définition plus commode.
a. R(u, a!) est défini quel que soit (1 > 0 et pour tout YJ E U tel que :
b. Il existe d’une part Q fonction dc S tel que, quel que soit, E > 0, et il existe d’autre part
S(E) 5 61 tel que si us E U et p,(u,,,,ug) < b(E), cela entraîne :
On choisit comme solution approchée la solution ZJ obtenue au moyen de l’équation ~6 =
R[U~; o!(6)], équation dans laquelle le paramètre rkgularisant est lik à l’erreur entachant les
données initiales ‘ut.
Il nous reste donc à chercher des opérateurs régularisants et à définir le paramètre a
connaissant l’erreur 6 entachant le deuxième rnernbre.
Nous n’allons pas rentrer dans les détails de l’obtention d’opkrateurs régularisants dont nous
donnerons quelques exemples en nous lirnitant aux idées générales. La construction d’opérateurs
régularisants est fondée sur le principe variationnel qui minimise une fonctionnelle stabilisatrice
O(Z) non négative continue et définie sur un sous-ensemble FI dense partout sur F. En outre:
cette fonctionnelle est telle que l’ensemble des éléments z de FI pour lesquels C?(Z) < 6 quel que
soit, 0,~ > 0 est un compact sur FI. On cherche la solution approchée dans l’ensemble M de F
te1 q11e :
comme la solution n’est pas continue en 6, on ne peut pas retenir un élément arbitraire dc M. En
général, M est très grand ct c’est notre principe de sélection variationnel qui va nous permettre
de choisir un ou plusieurs éléments de M qui dépendent continûment de 6.
Revenons
à notre fonctionnelle stabilisatrice O(Z) définie sur l’ensemble FI de F et désignons
par F~A l’ensernblc des éléments de M sur lequel C!(Z) est défini ; nous pouvons écrire : F~A =
M n Fl. L’exploitation du principe de sélection consiste à rechercher les klérnents dc FIS qui
minimisent la fonctionnelle 0( 2).
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