MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQ~JEAPPLIQUÉ
3. Notion de problèmes bien et mal posés
Résoudre le probl?mc linéaire AZ = U, c’est trouver sa solution z = ?Y?(U) à partir des données
initiales U(X). Il va dc soi que l’on travaille dans des espaces m6triqucs ct que la distance est,
suggérée par le type de problème trait&
Supposons que la « solution » soit dkfinie: et qu’à tout u appartenant à U corresponde lule
solution unique z = V?(U) appartenant à F.
Par définition, on dit que le problème de la recherche d’une solution est stable vis-à-vis des
données initiales si VJE > 0, il existe C?(E) > 0 tel que :
p,, (uI,u~) < C?(E) entraîne
Kz(~1,~2) i 6
HVCC z1 = X(74)
et
ZJ = !R(ua),
I L ~ ct ~2 appartenant à U et z1 ct .zz appartena.nt à F.
Par définition, le problème est bien posé sur les espaces U et F si l’on varific les conditions
suivantes :
1. VU appartenant à U, il existe une solution z appartenant à F.
2. La solution est définit de faCon unique.
3. Le problème est stable sur les espaces U ct F.
Dans lc cas contraire, on dit que lc problème est mal posé.
Quelques remarques
1. Le rôle de la troisième condition est fondamental pour l’exploitation des méthodes numériques.
2. La recherche d’une solution approchée d’un problème mal posé est g6néralement non univoque. Supposons que l’équation AZ = u soit mal posée dans l’espace des fonctions F, même
si A est un opérateur absolument continu, AP1 ne sera pas en génPra1 1111 opérateur contiml
sur U et la solution ne sera pas stable. De plus on suppose que le second membre u,~> est
connu à S près tel que ~L,,,(u,,:~, uCL1)) < S, (u,, étant, la solution exacte et uarl 6tant la solution
approchée). Naturellement on rechrrchc la solution approchée dans la classe QJ de z pour
laquelle la distance p,,(Az, u,~) < 6; rnalhe~lrellsement,
la classe QJ est en g6n6ral trop
vaste ct il faut introduire une contrainte c’est-à-dire un principe de sélection sur les solutions
possibles. Pour cc faire, on exploite une information supplérnentairr sur la solut,ion qui peut
êtIre par exemple la régularité des solutions.
4. Méthode de régularisation
À prC:sent IIOUS envisageons le cas où F la classe des solutions possibles n’est, plus compacte, ainsi
les variations du second rnembre de l’équation AZ = u sont susceptibles dc sortir des frontières
de AF ; on dit alors qu’il s’agit de problèmes essentiellement mal posés, et A. Tikhonov a proposé
mie mbthodc de résolution fondee sur la notion d’opérateur régularisant.
4.1. Notion d’opérateur régularisant
L’opérateurA-’ n’est plus continu sur AF et l’ensemble des solutions dc F n’est plus compact.
Même dans le cas où l’on est en préscncc d’lm second rnembre approché 7~,~~ appartenant à I:
te1 WC Pu(%.z, ,Uap) < ~5, on sait que la solution :
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NUMÉRIQ~JEAPPLIQUÉ
3. Notion de problèmes bien et mal posés
Résoudre le probl?mc linéaire AZ = U, c’est trouver sa solution z = ?Y?(U) à partir des données
initiales U(X). Il va dc soi que l’on travaille dans des espaces m6triqucs ct que la distance est,
suggérée par le type de problème trait&
Supposons que la « solution » soit dkfinie: et qu’à tout u appartenant à U corresponde lule
solution unique z = V?(U) appartenant à F.
Par définition, on dit que le problème de la recherche d’une solution est stable vis-à-vis des
données initiales si VJE > 0, il existe C?(E) > 0 tel que :
p,, (uI,u~) < C?(E) entraîne
Kz(~1,~2) i 6
HVCC z1 = X(74)
et
ZJ = !R(ua),
I L ~ ct ~2 appartenant à U et z1 ct .zz appartena.nt à F.
Par définition, le problème est bien posé sur les espaces U et F si l’on varific les conditions
suivantes :
1. VU appartenant à U, il existe une solution z appartenant à F.
2. La solution est définit de faCon unique.
3. Le problème est stable sur les espaces U ct F.
Dans lc cas contraire, on dit que lc problème est mal posé.
Quelques remarques
1. Le rôle de la troisième condition est fondamental pour l’exploitation des méthodes numériques.
2. La recherche d’une solution approchée d’un problème mal posé est g6néralement non univoque. Supposons que l’équation AZ = u soit mal posée dans l’espace des fonctions F, même
si A est un opérateur absolument continu, AP1 ne sera pas en génPra1 1111 opérateur contiml
sur U et la solution ne sera pas stable. De plus on suppose que le second membre u,~> est
connu à S près tel que ~L,,,(u,,:~, uCL1)) < S, (u,, étant, la solution exacte et uarl 6tant la solution
approchée). Naturellement on rechrrchc la solution approchée dans la classe QJ de z pour
laquelle la distance p,,(Az, u,~) < 6; rnalhe~lrellsement,
la classe QJ est en g6n6ral trop
vaste ct il faut introduire une contrainte c’est-à-dire un principe de sélection sur les solutions
possibles. Pour cc faire, on exploite une information supplérnentairr sur la solut,ion qui peut
êtIre par exemple la régularité des solutions.
4. Méthode de régularisation
À prC:sent IIOUS envisageons le cas où F la classe des solutions possibles n’est, plus compacte, ainsi
les variations du second rnembre de l’équation AZ = u sont susceptibles dc sortir des frontières
de AF ; on dit alors qu’il s’agit de problèmes essentiellement mal posés, et A. Tikhonov a proposé
mie mbthodc de résolution fondee sur la notion d’opérateur régularisant.
4.1. Notion d’opérateur régularisant
L’opérateurA-’ n’est plus continu sur AF et l’ensemble des solutions dc F n’est plus compact.
Même dans le cas où l’on est en préscncc d’lm second rnembre approché 7~,~~ appartenant à I:
te1 WC Pu(%.z, ,Uap) < ~5, on sait que la solution :
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