17. INITIATION.~~~ PROBLEMES MAL POSÉS : ÉQUATIONS INTÉGRALES,
À présent, montrons que le problème est un problème mal posé. Supposons que pour un second
membre ~~(5) nous connaissions une solution exacte zl(t) ; on peut alors écrire :
b
s
K(z; t)q(t) dt = ~L~(Z).
Maintenant, supposons que l’on connaisse un second membre approché peu différent de ui (x)
dans la métrique L2, et l’on se propose de rechercher une solution voisine de zi(t).
Considérons la fonction za(t) = z1 (t) + IT sin(wt), elle est solution de l’équation :
r
s
K(z, t) sin(wt) dt + ~I(Z) = Ut
Cette expression permet de calculer la distance de [~I(X) ~ us(z)] :
ILu(u1, u2) = Irl {l [iK(z,t)sin(tit) dt] 2 d;)o>
cette expression peut être rendue aussi petite que l’on veut pourvu que w soit suffisamment
élevé. Calculons maintenant la distance des solutions correspondantes :
p,(zl, z2) = suplzl(t) - z2(t)l = suplFsin(wt)I = lrl pour t appartenant à (a, b).
et cet écart pourra être arbitrairement grand.
Remarque : Rien n’est changé si la norme pz (zi , ~2) est remplacée par l’autre norme pu. (zi ,~a) ;
on calcule alors :
= Irl [q - L, sin[w(b - u)] COS[~(~ - a)]] 1’2.
Cette dernière expression montre que I et w peuvent être choisis de telle façon que la distance
p,(,(zi, 22) puisse être arbitrairement grande. Ici le problème n’a pas été modifié par le choix de
la norme, mais ce n’est pas une loi générale.
La conclusion peut s’énoncer de la manière suivante : la recherche d’une solution dc l’équation
intégrale ne peut pas être déterminée par la condition :
expression dans laquelle :
a. l’operateur intégral est désigné par A, ce qui permet d’écrire formellement AZ = u à la place
de l’équation intégrale.
b. S est un infiniment petit positif.
275
À présent, montrons que le problème est un problème mal posé. Supposons que pour un second
membre ~~(5) nous connaissions une solution exacte zl(t) ; on peut alors écrire :
b
s
K(z; t)q(t) dt = ~L~(Z).
Maintenant, supposons que l’on connaisse un second membre approché peu différent de ui (x)
dans la métrique L2, et l’on se propose de rechercher une solution voisine de zi(t).
Considérons la fonction za(t) = z1 (t) + IT sin(wt), elle est solution de l’équation :
r
s
K(z, t) sin(wt) dt + ~I(Z) = Ut
Cette expression permet de calculer la distance de [~I(X) ~ us(z)] :
ILu(u1, u2) = Irl {l [iK(z,t)sin(tit) dt] 2 d;)o>
cette expression peut être rendue aussi petite que l’on veut pourvu que w soit suffisamment
élevé. Calculons maintenant la distance des solutions correspondantes :
p,(zl, z2) = suplzl(t) - z2(t)l = suplFsin(wt)I = lrl pour t appartenant à (a, b).
et cet écart pourra être arbitrairement grand.
Remarque : Rien n’est changé si la norme pz (zi , ~2) est remplacée par l’autre norme pu. (zi ,~a) ;
on calcule alors :
= Irl [q - L, sin[w(b - u)] COS[~(~ - a)]] 1’2.
Cette dernière expression montre que I et w peuvent être choisis de telle façon que la distance
p,(,(zi, 22) puisse être arbitrairement grande. Ici le problème n’a pas été modifié par le choix de
la norme, mais ce n’est pas une loi générale.
La conclusion peut s’énoncer de la manière suivante : la recherche d’une solution dc l’équation
intégrale ne peut pas être déterminée par la condition :
expression dans laquelle :
a. l’operateur intégral est désigné par A, ce qui permet d’écrire formellement AZ = u à la place
de l’équation intégrale.
b. S est un infiniment petit positif.
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