MANUEL DE CALCUL NUMÉ RIQUE APPLIQUÉ
Dans la métrique de L2, les coefficients diffèrent de :
par conséquent, Er est aussi petit que l’on veut. D’autre part, si la distance entre les fonctions
f(x) et g(z) est donnée par la norme de la convergence uniforme, nous avons :
cette quantité est aussi grande que l’on veut.
Remarque : Si l’on choisit la norme de la convergence en moyenne quadratique, le problème
devient bien posé. En effet :
2. L’équation intégrale de Fredholm (1866-1927) de première espèce
L’équation de Fredholm de première espèce const,itue un problème mal posé. Considérons
l’équation fonctionnelle suivante :
J
K(z, t)z(t) dt = U(X)
pour z appartenant à (c, d),
expression dans laquelle z(t) t
es une fonction inconnue de l’espace F des fonctions continues
sur (a, b) et U(X) une fonction connue de l’espace U. Mentionnons au passage que l’équation de
convolution est un cas particulier de cette équation fonctionnelle, K(z, t) devenant K(z, -t).
Ajoutons une hypothèse supplémentaire sur le noyau K(z, t) qui est connu : c’est une fonction
continue en I C qui possède une dérivée partielle dK(z, t)/ax également continue.
Si la solution n’est qu’une solution approchée, la mesure de l’écart du second membre
s’effectue, par exemple, dans une métrique quadratique pu. que nous écrivons (U est l’espace des
fonctions de carré sommable L2) :
d
1/2
PcL,(.Q,U2) =
J [~I(X) - t&)]” dz .
c
L’écart de la solution z(t) peut être mesuré, par exemple, dans la métrique ,u~ de la convergence
uniforme (F est l’espace des fonctions Lm) :
p,(zr, 3) = sup jzr(t) - z2(t)j
pour t appartenant à (a, b).
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