17 Initiation aux problèmes mal
posés : équations intégrales,
systèmes linéaires mal
conditionnés et équations
de convolution
La r&olution mlmérique de certains probltimcs mathématiques peut amcncr 1111 type particulier d’ennuis lié à l’instabilité des solutions vis-à-vis de faibles variations des donnbr~s initiales.
En d’autres termes, des variations des donnkes aussi Petit)es que l’on vcwt peuvent amener des
variat,ions aussi grandes que l’on veut de la solution. C’est bien cc type de problPme qui est bvoqub
par les météorologistes quand ils disent qu’un battement d’aile de papillon peut provoquer mi
cyclone n’importe oa..
Grosso modo, la solution approchée dc ce type de problème n’est pas unique dans 1~s lirnites
dc prkcision que l’on s’est fixé et devient difficile à interpréter.
C’est Hadamard (1865-1963) qui le premier a mis en Cvidcncc ce type de problèmes, dits mal
posés aujourd’hui, ct l’on trouvera en bibliographie ses art,icles originaux. On peut a.jouter que
ces problèmes ont fait l’objet d’une récente actualité au cours du développement de la thkoric
du chaos.
Ce chapitre doit énorrnérnent à l’ouvrage de réf&ence écrit par Tikhonov (1906 1993) et,
Ar&nine aux Éditions dc Moscou (c,f. bibliographie). La lecture de ce livre demande une solide
connaissance en mathematique, et nous avons sculcment cherché dans ce chapit,rc à r&umcr la
philosophie sous-jacente. Cependant, dans une première approche dc ces problèmes, la lecture
des exemples et l’usage des programmes sont amplement suffisants.
1. Un exemple de problème mal posé : le calcul des séries de Fourier
à coefhcients approchés dans L*
Considérons II~I~ série de Fourier convergente que nous écrivons :
f(x) = F arr cos(nz)
et supposons que chaque coefficient ~ ~ ~ ~ soit entaché d’une erreur E/T~ (à l’cxccption dc ~0
évidemment) ; nous écrivons donc :
c -
n - a,,, + &I?l
et
cg = a,().
La fonction f(z) est donc remplacée par la fonction y(z) :
00
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posés : équations intégrales,
systèmes linéaires mal
conditionnés et équations
de convolution
La r&olution mlmérique de certains probltimcs mathématiques peut amcncr 1111 type particulier d’ennuis lié à l’instabilité des solutions vis-à-vis de faibles variations des donnbr~s initiales.
En d’autres termes, des variations des donnkes aussi Petit)es que l’on vcwt peuvent amener des
variat,ions aussi grandes que l’on veut de la solution. C’est bien cc type de problPme qui est bvoqub
par les météorologistes quand ils disent qu’un battement d’aile de papillon peut provoquer mi
cyclone n’importe oa..
Grosso modo, la solution approchée dc ce type de problème n’est pas unique dans 1~s lirnites
dc prkcision que l’on s’est fixé et devient difficile à interpréter.
C’est Hadamard (1865-1963) qui le premier a mis en Cvidcncc ce type de problèmes, dits mal
posés aujourd’hui, ct l’on trouvera en bibliographie ses art,icles originaux. On peut a.jouter que
ces problèmes ont fait l’objet d’une récente actualité au cours du développement de la thkoric
du chaos.
Ce chapitre doit énorrnérnent à l’ouvrage de réf&ence écrit par Tikhonov (1906 1993) et,
Ar&nine aux Éditions dc Moscou (c,f. bibliographie). La lecture de ce livre demande une solide
connaissance en mathematique, et nous avons sculcment cherché dans ce chapit,rc à r&umcr la
philosophie sous-jacente. Cependant, dans une première approche dc ces problèmes, la lecture
des exemples et l’usage des programmes sont amplement suffisants.
1. Un exemple de problème mal posé : le calcul des séries de Fourier
à coefhcients approchés dans L*
Considérons II~I~ série de Fourier convergente que nous écrivons :
f(x) = F arr cos(nz)
et supposons que chaque coefficient ~ ~ ~ ~ soit entaché d’une erreur E/T~ (à l’cxccption dc ~0
évidemment) ; nous écrivons donc :
c -
n - a,,, + &I?l
et
cg = a,().
La fonction f(z) est donc remplacée par la fonction y(z) :
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