16. L ES TRANSFORMÉES DE F OURIER
12.3. La fonction « peigne B de Dirac encore appelée sha(t)
On peut montrer que la fonction (distribution) Cr=-, s(t - k), avec k entier est sa propre
transformée de Fourier. On en dkduit ensuite la formule de Poisson :
laquelle permet d’écrire :
2 d(t - k) = F exp(-2Tjtn).
k=-cc
77=-03
La fonction sha(t) permet de représenter la fonction d’échantillonnage d’une fonction quelconque
à la fréquence F, (ou à la période T,) :
sha(t) = T,: 2 d(t - kF,:).
Soit f(t) la fonction que l’on désire échantillonner dont la forme échantillonnée s’appelle Q(t)
et dont la transformée de Fourier est F(v) :
Q(t) = T, 2 f(kT,)G(t - kT,) = f(t)Te F b(t ~ kT,).
k=-x
k=-oo
La formule de Poisson permet d’écrire :
Q(t) = F(v) * E S(u - nF,).
TX=-00
13. Transformées de Fourier multidimensionnelles
Il n’y a pas de difficultés à traiter des transformées de Fourier à plusieurs dimensions, car les
grands principes que nous avons évoqués à propos des transformées de Fourier à une dimension
demeurent. Nous allons nous intéresser aux transformées à deux dimensions dont l’intérêt évident
concerne le traitement des images, quoique d’autres applications soient également bien utiles.
Dans un espace cartésien à deux dimensions, la transformée directe s’écrit :
f(u, 71) = 71 G(z, y) exp [2-irj(w + ~y)] dn: dy
ainsi que la transformée réciproque sous réserve de son existence :
+CC
G(~,Y) = /II
f(u, II) exp [-~T~(ZU + ~y)] du dv.
-cc
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