MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
c - Théorème - Dans l’algèbre de convolution, 6(z) joue le rôle d’élément unit6 :
T*f = f
Par exemple,
+Oc
+CC
s
f(x - t)?i(t - u) dt = .I
f(t)S S,(z) étant la fonction 6(z) qui a subi la translat,ion a.
d - Transformée de Fourier de 6(x) et propriétés connexes
1. La transformée de Fourier de la fonction f(z) = 1 est la fonction de Dirac.
+CC
s
1 exp(2njvt) dt = 6(y)
-00
2. Rkciproquement :
+CC
J’
d(v) exp(-2Kjvt) dv = 1.
Remarque : Considérons la fonction id(t) à qui l’on fait subir deux translations symétriques
+a :
is(t-u)
a
1
z exp(-2Tjav)
ib(t + u) 25 a exp(2Tjnv)
En additionnant membre à membre, on obtient :
; [s(t + u) + s(t - u)]
z5
cos(2nuv)
Si f(t)
fi F(v),
alors :
+CX
I d(t)f(t) exp(-2rjvt) dt = F(0)
et J’
6(t - u)f(t) exp(-2njvt) dt = F(n,)
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