16. L ES TRANSFORMÉES DE F~URIE~<
Si tel n’est pas le cas, supposons alors qu’il existe, par cxcmple, dans lc signal urle fr6qwnce
de 30 kHz. Nous verrons,
ou plutôt entendrons, une frsquenct rbultant du battemrnt de
cette fréquence avec la fréquence d’échantillonnage, c’est-à-dire 15 kHz. On comprrnd très
bien que toutes les frkquences comprises entre 22,5 ct 45 kHz vont battre avec la fr6quence
d’échantillonnage et recouvrir le spectre qui a été obtenu entre 0 et 22.5 kHz. C’est ce que
certains auteurs appcllcnt le « repliemcnt du spectre ».
011 comprend tout le danger qu’il y a à effectuer un échant,illonnage sans connaître la plus
grande fréquence composant le signal et qui soit non n&&yahle en amplitude.
12. La distribution de Dirac (1902-1984)
La distribution de Dirac joue un rôle intbressant dans l’étude des transformi-rs de Fourier, et
l’on consultera avec intérêt l’ouvrage d’Arsac sur les t,ransforrnées
dc Fourier des distributions
t,cmpérkes.
12.1. Définition
On considare la suite de fonctions :
= 0 si n: < 0 et, :r > 1
fil (X;l
1
71
=n
si O<:r:<-.
n
La distribution de Dirac, notée 6(z), est la limite de flZ,(~) lorsque n tend vers l’infini. 6(x) est,
encore appclke impulsion unité car sa surface est @ale 2 1 (cornmc toutes les fonctions f,!(X)
par construction). L’intégrale dc la fonction de Dira(: est notée Y(t) :
Y(t) = .i
S(z) dz,
-00
clic vaut 1 si t > 0 ct 0 si t < 0. Elle s’appelle fonction de Heavisidc (1850~ 1925) ou 6chclon
unité.
12.2. Quelques propriétés
a+X.
f(x)S(x) dz = f(0)
6 - Dc nGme, si a < 0 ct b > 0, on peut écrire :
b
J
f(x)S(x) dz = f(0).
car S(Z) est nulle partout sauf cn z = 0.
R.éciproquement, la dbrivée de la fonction de Heaviside est, la fonction de Dira(:.
Y(t) est encore appelée la fonction échelon unité.
269
Si tel n’est pas le cas, supposons alors qu’il existe, par cxcmple, dans lc signal urle fr6qwnce
de 30 kHz. Nous verrons,
ou plutôt entendrons, une frsquenct rbultant du battemrnt de
cette fréquence avec la fréquence d’échantillonnage, c’est-à-dire 15 kHz. On comprrnd très
bien que toutes les frkquences comprises entre 22,5 ct 45 kHz vont battre avec la fr6quence
d’échantillonnage et recouvrir le spectre qui a été obtenu entre 0 et 22.5 kHz. C’est ce que
certains auteurs appcllcnt le « repliemcnt du spectre ».
011 comprend tout le danger qu’il y a à effectuer un échant,illonnage sans connaître la plus
grande fréquence composant le signal et qui soit non n&&yahle en amplitude.
12. La distribution de Dirac (1902-1984)
La distribution de Dirac joue un rôle intbressant dans l’étude des transformi-rs de Fourier, et
l’on consultera avec intérêt l’ouvrage d’Arsac sur les t,ransforrnées
dc Fourier des distributions
t,cmpérkes.
12.1. Définition
On considare la suite de fonctions :
= 0 si n: < 0 et, :r > 1
fil (X;l
1
71
=n
si O<:r:<-.
n
La distribution de Dirac, notée 6(z), est la limite de flZ,(~) lorsque n tend vers l’infini. 6(x) est,
encore appclke impulsion unité car sa surface est @ale 2 1 (cornmc toutes les fonctions f,!(X)
par construction). L’intégrale dc la fonction de Dira(: est notée Y(t) :
Y(t) = .i
S(z) dz,
-00
clic vaut 1 si t > 0 ct 0 si t < 0. Elle s’appelle fonction de Heavisidc (1850~ 1925) ou 6chclon
unité.
12.2. Quelques propriétés
a+X.
f(x)S(x) dz = f(0)
6 - Dc nGme, si a < 0 ct b > 0, on peut écrire :
b
J
f(x)S(x) dz = f(0).
car S(Z) est nulle partout sauf cn z = 0.
R.éciproquement, la dbrivée de la fonction de Heaviside est, la fonction de Dira(:.
Y(t) est encore appelée la fonction échelon unité.
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