i!!fANLJEL DE CALCLJL
NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
conditions, OII deduit que l’étendue de l’cspscc réciproque est, (-wo: +w~) soit 2~0 ct que la
fréquence d’échantillonnage est :
2wrl
7”( ) = -:
N
il s’ensuit que la <~bonnc pcriode » d’échantillonnage ho est donni:e par l’expression :
h > U = &
0
c’est la période d’echantillonnage dc Shannon (1916 ). Autrement dit j il faut, cchantillonner à
une fréquence au moins deux fois plus grande que la plus grande fréquence apparaissant dans
le signal à traiter pour ne rien perdre de l’information contenuc dans le signal. Quand cette
condition est remplie, Shannon a montre que l’on pouvait elfectuer une interpolation rigoureuse
G(w) dans l’espace réciproque de la fonction F(w) au moyen de la relation :
Démonstration - On isole une période n de la fonction f(t) dc l’espace direct cn la multipliant
par une «fonction porte » r(t) :
g(t) = f(t) r(t).
La transformée de Fourier de g(t) notée G(w) est continue, périodique et, definie numériquement pour les valeurs w = Icra :
G(w) = F(w) * R(w) (produit dc convolution),
où R(w) est la transformée de Fourier de la fonction porte; soit :
sin( 27rTw)
de là, I~OIIS tirons :
R(w) = 2$Jlw ;
11.2. On impose ho
Dans cc cas, il est indispensable de procéder au filtrage du signal avant de 1’~c:hantillorlner
et il
ne devra pas comporter de frcquences supericurcs à :
1
W”=2ho’
sous peine de voir apparaître dans le spectre des «battements » avec la fréquence d’échantillonnage. C’est réellement cc problèrne qui est traité dans la réalisation d’un disque numerique.
La
fréquence d’échant,illonnage est fixée aux environs dc 45 kHz. Il s’ensuit que le signal ne doit pas
comporter de fréquences superieures à 22,5 kHz ou tout au plus ces frcqucnces, si elles existent.
auront une amplitude très attémicc ~ au moins 20 dB par octave.
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