16. L ES
TRANSFORMÉES
DE
F OURIER
Espace direct
Espace réciproque
~ 42 0 + cl/2 2
- T/2
0
+T/2
”
Figure 16.1. Avec
h, = a,lN
r = l/a,
h = 1/T
T = l/h,
a = l/r
N = TII-.
6. Lors de la mise au point d’un programme de transformkes de Fourier, il est raisonnable de
réaliser simultanément la transformée directe ct la transformée réciproque qui n’admettent
que peu de différences. Ainsi, après avoir obtenu la transformée directe, on revient dans
l’espace initial au moyen de la transformée rkiproque... et l’on doit retrouver les données
initiales (à partir de l’échantillon correspondant à l’origine). Cela constitue 1111 bon test de
mise au point. Par ailleurs, ce procédk permet d’apprécier de façon tangible les erreurs qui
viennent altérer les résultats, car on observera de toute façon des divergences par rapport aux
données initiales, divergences qu’il est souhaitable dc trouver de quelques ordres de grandeur
de l’erreur de troncature affectant les nombres traités en rnachinc. Cependant, il convient, dc
se souvenir que le calcul rapide des fonctions trigonomét,riques
intervenant dans les calculs
sont des sources d’incertitude qu’il ne faut pas négliger.
11. Un problème fondamental : quelle doit être la période
d’échantillonnage de la fonction f(x) ?
Rappelons que la taille de la période d’échantillonnage h de la fonction f(z) va dtterrniner la
t,aillc du domaine de représentation de la transformée de Fourier F(t) dans l’espace réciproque.
Ajoutons que la taille du domaine de définition de f(z) déterminera la taille dc la fréquence
d’échantillonnage r dans l’espace réciproque. Au fond, chaque fois que l’on trait,e de transformées
de Fourier, il est indispensable d’avoir présent à l’esprit la figure 16.1.
La déterrnination dt la période d’échantillonnage h, pour une expérience donnée, n’est pas
un problème banal : il n’est pas question d’effectuer url échantillonnage de n’importe quelle
façon quand bien même ne serions-nous pas intkressés par la partie dc la transformée de Fourier
au-delà d’une certaine valeur de l’abscisse fh~.
Il y a deux façons de procéder avec une fonction f(t), laquelle a fait l’objet d’un enregistrement
continu, afin d’obtenir une bonne période d’échantillonnage dans l’espace direct.
11.1. Détermination expérimentale de ho
On effectue un échantillonnage à la période h puis on calcule la transforrnée de Fourier F(w).
Pour que F(w) appartienne à L1 ou L2, il est nécessaire qu’au moins elle soit, nulle à l’infini,
c’est-à-dire au bord du domaine (-0,5, +O, 5). (Elle peut évidemment devenir nulle avant le
bord...)
Si tel n’est pas le cas, on rnodifie le pas d’échantillonnage h pour s’assurer de la nullité de
la fonct,ion F(w) au-delà de lwOI. Bien entendu, on a tout intérêt à cc que l’annulation, dans
l’espace normalisé, s’effectue au bord du dornainc (-0,5, +O, 5) et non It l’intérieur pour la
bonne raison qu’il est, inutile dc rkaliser des calculs qui n’apprennent rien sur la TF. Dans ces
267
TRANSFORMÉES
DE
F OURIER
Espace direct
Espace réciproque
~ 42 0 + cl/2 2
- T/2
0
+T/2
”
Figure 16.1. Avec
h, = a,lN
r = l/a,
h = 1/T
T = l/h,
a = l/r
N = TII-.
6. Lors de la mise au point d’un programme de transformkes de Fourier, il est raisonnable de
réaliser simultanément la transformée directe ct la transformée réciproque qui n’admettent
que peu de différences. Ainsi, après avoir obtenu la transformée directe, on revient dans
l’espace initial au moyen de la transformée rkiproque... et l’on doit retrouver les données
initiales (à partir de l’échantillon correspondant à l’origine). Cela constitue 1111 bon test de
mise au point. Par ailleurs, ce procédk permet d’apprécier de façon tangible les erreurs qui
viennent altérer les résultats, car on observera de toute façon des divergences par rapport aux
données initiales, divergences qu’il est souhaitable dc trouver de quelques ordres de grandeur
de l’erreur de troncature affectant les nombres traités en rnachinc. Cependant, il convient, dc
se souvenir que le calcul rapide des fonctions trigonomét,riques
intervenant dans les calculs
sont des sources d’incertitude qu’il ne faut pas négliger.
11. Un problème fondamental : quelle doit être la période
d’échantillonnage de la fonction f(x) ?
Rappelons que la taille de la période d’échantillonnage h de la fonction f(z) va dtterrniner la
t,aillc du domaine de représentation de la transformée de Fourier F(t) dans l’espace réciproque.
Ajoutons que la taille du domaine de définition de f(z) déterminera la taille dc la fréquence
d’échantillonnage r dans l’espace réciproque. Au fond, chaque fois que l’on trait,e de transformées
de Fourier, il est indispensable d’avoir présent à l’esprit la figure 16.1.
La déterrnination dt la période d’échantillonnage h, pour une expérience donnée, n’est pas
un problème banal : il n’est pas question d’effectuer url échantillonnage de n’importe quelle
façon quand bien même ne serions-nous pas intkressés par la partie dc la transformée de Fourier
au-delà d’une certaine valeur de l’abscisse fh~.
Il y a deux façons de procéder avec une fonction f(t), laquelle a fait l’objet d’un enregistrement
continu, afin d’obtenir une bonne période d’échantillonnage dans l’espace direct.
11.1. Détermination expérimentale de ho
On effectue un échantillonnage à la période h puis on calcule la transforrnée de Fourier F(w).
Pour que F(w) appartienne à L1 ou L2, il est nécessaire qu’au moins elle soit, nulle à l’infini,
c’est-à-dire au bord du domaine (-0,5, +O, 5). (Elle peut évidemment devenir nulle avant le
bord...)
Si tel n’est pas le cas, on rnodifie le pas d’échantillonnage h pour s’assurer de la nullité de
la fonct,ion F(w) au-delà de lwOI. Bien entendu, on a tout intérêt à cc que l’annulation, dans
l’espace normalisé, s’effectue au bord du dornainc (-0,5, +O, 5) et non It l’intérieur pour la
bonne raison qu’il est, inutile dc rkaliser des calculs qui n’apprennent rien sur la TF. Dans ces
267