MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Tableau 16.3.
Indices initiaux
Décimal
Binaire
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
Indices finals
Binaire
Décimal
000
0
100
4
010
2
110
6
001
1
101
5
011
3
111
7
10. Programmes de calcul des transformées de Fourier
On trouvera sur le Web(*) 1 es sous-programmes df ft0. h ct df f tinv0. h pour calculer les
transformées de Fourier. Nous avons retenu une méthode non récursive agrémentée
d’un
algorithme de tri direct des données. Ces programmes nécessitent quelques commentaires.
1. Lors du calcul de la transformée directe, le calcul successif des transformée au moyen des
relations (16.23) et (16.24) irnpose la division des résultats par N. Cette opération a été
rkalisée au cours du tri et non pas après les calculs (les opérations sont linéaires).
2. Comme le rnontrent les relations (16.22): il ne faut pas diviser les données par N lorsque l’on
calcule la transformation réciproque.
3. Il est très facile de se retrouver en présence d’un fâcheux décalage de T lors du calcul
des transformk dc Fourier. Généralement ceci est dû au fait que les donnkes ont été mal
numérotées au départ : il faut que le premier échantillon se trouve à l’origine. La plupart,
des programmes exigent cette façon de procéder. Nous ne l’avons pas retenue pour la raison
suivante : lorsque l’on traite des données échantillonnées au cours du t,emps: la première
donnée qui se présente correspond à l’abscisse normalisée -1/2 et non pas zéro. Dans ce cas
il ne semble pas habile d’attendre d’être en possession de toutes les données pour effectuer
le décalage d’abscisse avant d’entreprendre lc calcul effectif de la transformée de Fourier.
C’est pour cela que la transforrnée de Fourier directe que nous proposons tient compte de ce
décalage. Par conséquent, si l’on utilise ce prograrnme avec des données numérotées
à partir
de l’origine, on SC trouvera également en présence d’un déphasage de T. Il convient alors de
noter que le module de la transformée de Fourier est correct.
4. Quelle que soit la manière retenue, les résultats de la transformée de Fourier directe sont
donnés à partir de l’origine. Autrernent dit, dans l’espace réciproque; le premier point calculé
est celui correspondant à l’origine, et l’on aura les points suivants jusqu’à la demi-période
1/(2h) ensuite viendront les points de la demi-période -1/(2h) jusqu’à zéro non compris.
5. C’est pour les raisons expliqués au cours du paragraphe préckdcnt que la transformée de
Fourier réciproque effectue les calculs à partir de l’échanti!lon correspondant à l’origine.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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DE
CALCUL
NUMÉ RIQUE
APPLIQUÉ
Tableau 16.3.
Indices initiaux
Décimal
Binaire
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000
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001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
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Indices finals
Binaire
Décimal
000
0
100
4
010
2
110
6
001
1
101
5
011
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10. Programmes de calcul des transformées de Fourier
On trouvera sur le Web(*) 1 es sous-programmes df ft0. h ct df f tinv0. h pour calculer les
transformées de Fourier. Nous avons retenu une méthode non récursive agrémentée
d’un
algorithme de tri direct des données. Ces programmes nécessitent quelques commentaires.
1. Lors du calcul de la transformée directe, le calcul successif des transformée au moyen des
relations (16.23) et (16.24) irnpose la division des résultats par N. Cette opération a été
rkalisée au cours du tri et non pas après les calculs (les opérations sont linéaires).
2. Comme le rnontrent les relations (16.22): il ne faut pas diviser les données par N lorsque l’on
calcule la transformation réciproque.
3. Il est très facile de se retrouver en présence d’un fâcheux décalage de T lors du calcul
des transformk dc Fourier. Généralement ceci est dû au fait que les donnkes ont été mal
numérotées au départ : il faut que le premier échantillon se trouve à l’origine. La plupart,
des programmes exigent cette façon de procéder. Nous ne l’avons pas retenue pour la raison
suivante : lorsque l’on traite des données échantillonnées au cours du t,emps: la première
donnée qui se présente correspond à l’abscisse normalisée -1/2 et non pas zéro. Dans ce cas
il ne semble pas habile d’attendre d’être en possession de toutes les données pour effectuer
le décalage d’abscisse avant d’entreprendre lc calcul effectif de la transformée de Fourier.
C’est pour cela que la transforrnée de Fourier directe que nous proposons tient compte de ce
décalage. Par conséquent, si l’on utilise ce prograrnme avec des données numérotées
à partir
de l’origine, on SC trouvera également en présence d’un déphasage de T. Il convient alors de
noter que le module de la transformée de Fourier est correct.
4. Quelle que soit la manière retenue, les résultats de la transformée de Fourier directe sont
donnés à partir de l’origine. Autrernent dit, dans l’espace réciproque; le premier point calculé
est celui correspondant à l’origine, et l’on aura les points suivants jusqu’à la demi-période
1/(2h) ensuite viendront les points de la demi-période -1/(2h) jusqu’à zéro non compris.
5. C’est pour les raisons expliqués au cours du paragraphe préckdcnt que la transformée de
Fourier réciproque effectue les calculs à partir de l’échanti!lon correspondant à l’origine.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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