16.
L ES
TRANSFORMÉES
DE
F OURIER
8. Calcul par un algorithme ordinaire
Il s’agit ici de calculer les intégrales (16.6) au moyen de la méthode des reckanglcs ; la raison en
est la suivante : comme les fonctions sont, pkriodiques, il est indispensable d’affecter & chaque
point d’échantillonnage le rnêrne poids pour obtenir le même résultat quel que soit le point choisi
pour définir le début d’urlc pkriodc. On approche F(t) au moyen dc l’expression suivante :
71-l
F(t) = h c f(W) exp(27r-jkht).
(16.14)
k-71
Dans le cas où f(z) est une fonction rkelle, nous pouvons kcrire :
71 - 1
71-l
F(t) = h c f(M) cos(27rkht) + jh c f(M) sin(2z7kht).
Il est plus commode de poser :
rq = f(qh) + f(-&)
s q = f(qh) - f(-qh)
avec q=O:1,2 ,..., n,-1
et T, = f(-nh)
S1L = -f(-nh).
Cette façon de procéder rcvicnt à décomposer une fonction en une somme de deux fonctions,
l’une paire et l’autre impaire ; en posant F(t) = FR(~) + jP~(t): cela nous permet d’écrire :
FR(t) = h 2 rk cos(27rkht)
FJ(t) = h c Sk sin(2xkht).
(16.15)
k=l
Remarque : Nous avons dkjà dit que les relations (16.15) ktaicnt simples à calculer mais qu’cllcs
exigeaient un temps de calcul considérable. Cependant, il y a moyen de diviser le temps de calcul
par trois environ en effectuant la remarque suivante : L’argument dc base des sinus et cosinus est :
0,) = 27rht, ce qui fait que les argurnents des sinus et cosinus sont en progression arithmktique
de raison 00. Cornrne l’appel des fonctions de bibliothCque SIN et COS dcmandc 1111 temps
important, il est beaucoup plus astucieux de calculer ces fonctions au moyen des relations de
rkurrence du type :
COS[@ + I)@l] = 2 COS(@)) cos(p@~) - cos[(p - l)O”]
sin[(p + l)&] = 2 COS(@~) sin(pO0) - sin[(p - 1)00].
(16.16)
Les relations (16.16) ne sont pas uniques, et l’on peut trouver des relations de récurrence tout
à fait analogues. Quoi qu’il en soit, il suffit de calculer au depart seulernent Ao = cos(00) et
13” = sin(&) puis d’utiliser les formules de récurrence :
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