MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Quelles que soient les formules de récurrence utilisées, elles mettent en ouvre toujours une
soustraction, et l’on va observer une lente dégradation de la precision des valeurs calculees pour
les sinus et cosinus. C’est pourquoi il est utile de les calibrer de temps en temps: c’est-à-dire
d’utiliser les fonctions dc bibliothèque tous les 1024 points par exemple et de calculer les points
intermédiaires au moyen des relations de récurrence.
La transformée de Fourier réciproque ne présente pas plus de difficulté à calculer, on écrira
sirnplement :
f(x) = T C F(lh) exp(-2nj2ht).
1=-n
(16.17)
D’une faCon genérale, dans les relations (16.15) et (16.17), les fonctions f(z) et F(t) sont des
fonctions complexes de variables réelles respectivement zr et t.
9. L’algorithme de Cooley-Tukey (1915- )
Il s’agit d’un algorithme que l’on désigne souvent sous le nom de FFT (fast Fourier transform).
9.1. La transformée de Fourier discrète
Il suffit de reprendre les formules (16.15) et (16.17) en p récisant que les points qui doivent être
calculés sont ceux qui sont en progression arithmétique de raison T ou dc raison h selon l’espace
que l’on considère. Donc, si l’on fait a: = mr, on obtient :
F(mr) = h c f(kh) exp(2njkhmr) ;
mais comme T = 1/(2nh) il est plus commode d’écrire :
F(mr) = h C f(kh,)exp
k=-n
Réciproquement, on a la transformée inverse :
f(kh) = T c F(qh) exp
q=-n
(16.18)
(16.19)
Par ailleurs, si la fonction f(z) est périodique de période a, on aura les égalités suivantes :
F(mr) =
h
c f(kh)exp
k=-n+pl
f (kh) = T ny F(qh) exp (-2~.jg) .
(16.21)
q=-n+p2
(16.20)
quels que soient les entiers pi et pz. On s’aperçoit que le calcul des transformées de Fourier
fait appel à des valeurs numériques qui sont strictement liées à la nature de l’échantillonnage.
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