MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQCJE
APPLIQUÉ
Certaines de ces relations sont utilisees dans les paragraphes kvoquant,
l’approximation dc
fonctions de L’ au moyen des fonctions du cylindre parabolique. fonctions rattachées aux
polynômes d’Hermitc (cf. Chapitre 10).
6. Sur le calcul numérique des transformées de Fourier
Il existe quelques fonctions dont on connaît la transfornkc de Fourier, lesquelles ont kt,k
rkmies dans des tables. Malhcllrel~senlent, les équations fonctionnelles (16.6) n’admettent pas
tolljours des expressions littérales de transcendances élémentaires. Un autre prohlèmc
SC pose
lorsque l’on a affaire à des données expérimentales composées d’échantillons ~ lc plus souvent
distribués selon une progression arithmétique. En apparence il sufit dc calculer nurnkiquement
les intégrales (16.6). mais l’expérience montre que les temps de calcul sont prohibitifs et qu’il faut
trouver des algorithmes cxtrknernent élaborés pour parvenir à des temps de calcul raisonnables.
Nous allons donc examiner le problème sous cet aspect en accordant notre attention aux fonctions
khantillonnées.
7. Cas des fonctions échantillonnées
Puisqu’il s’agit esscnticllcment d’un point de vue pratique, il faut préciser que les fonctions f(z)
ne peuvent être connues que sur un intervalle fini (-a/2, +u/2). Ceci est dû aux impérkfs
de naturc physique et humaine : le temps d’observation est limité et, la densité d’information
recueillie pouvant ntre manipulée est finie. Par ailleurs, on supposera que la fonction f(z) est,
donnée par un ensemble d’échantillons qui sont pris CII progression arithmétique, soit (2n+l) leur
nombre ct l’on notera (zk, o/k) les couples de points représentant la fonction. D’arcs ct dkjà% on
est en mesure de dire qu’il n’y aura aucune différence entre une transform@e
de Fourier calculée
nurrkriqucmcnt et la skie de Fourier. En effet nous avons procédé à l’extension de l’intervalle
dc définition des fonctions périodiques pour parvenir & l’étude des transformks dc Fourier, mais
maintenant nous ne sommes cn mesure que de traiter numériquement les fonctions définies sur
un inkrvalle fini... Il va de soi que les algorithmes que nous allons décrire pcrmcttront dc calculer
les co&icients des développements cn skie de Fourier. Avant d’cntrcprcndre à proprement
parler l’ktude des algorithmes fondamentaux, il nous faut rappclcr les propriktés essentielles
des fonctions échantillonnées et dc leur tra,nsformée
de Fourier.
a. Lc pas d’khantillormage est h = a/(2n) et la période de la fonction f(z) est a, alors: dans
l’espace réciproque, la période de la transformke de Fourier F(t) est T = [-1/(2h), +1/(2h)l
et son pas d’échantillonnage est T = l/u.
b. Le calcul des khantillons de la transformée de Fourier F(t) se fait, selon 1me progression
arithmétique de raison T. On calcule donc ~TL points dans l’espace réciproque.
On démontre qu’aucune information n’est perdue en opérant de cette sorte. 2n points en
progression arithmétique sont nécessaires et, suffisants. Le fait de prendre davantage de points
n’apportera rien en prkision et cela ne fera qu‘accroître le temps dc calcul. En revanche, il
existe un probkmc beaucoup plus délicat qui est celui de déterminer convenablement la période
d’échant,illonnage h. Nous reviendrons cn détail sur ces problèmes.
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CALCUL
NUMÉRIQCJE
APPLIQUÉ
Certaines de ces relations sont utilisees dans les paragraphes kvoquant,
l’approximation dc
fonctions de L’ au moyen des fonctions du cylindre parabolique. fonctions rattachées aux
polynômes d’Hermitc (cf. Chapitre 10).
6. Sur le calcul numérique des transformées de Fourier
Il existe quelques fonctions dont on connaît la transfornkc de Fourier, lesquelles ont kt,k
rkmies dans des tables. Malhcllrel~senlent, les équations fonctionnelles (16.6) n’admettent pas
tolljours des expressions littérales de transcendances élémentaires. Un autre prohlèmc
SC pose
lorsque l’on a affaire à des données expérimentales composées d’échantillons ~ lc plus souvent
distribués selon une progression arithmétique. En apparence il sufit dc calculer nurnkiquement
les intégrales (16.6). mais l’expérience montre que les temps de calcul sont prohibitifs et qu’il faut
trouver des algorithmes cxtrknernent élaborés pour parvenir à des temps de calcul raisonnables.
Nous allons donc examiner le problème sous cet aspect en accordant notre attention aux fonctions
khantillonnées.
7. Cas des fonctions échantillonnées
Puisqu’il s’agit esscnticllcment d’un point de vue pratique, il faut préciser que les fonctions f(z)
ne peuvent être connues que sur un intervalle fini (-a/2, +u/2). Ceci est dû aux impérkfs
de naturc physique et humaine : le temps d’observation est limité et, la densité d’information
recueillie pouvant ntre manipulée est finie. Par ailleurs, on supposera que la fonction f(z) est,
donnée par un ensemble d’échantillons qui sont pris CII progression arithmétique, soit (2n+l) leur
nombre ct l’on notera (zk, o/k) les couples de points représentant la fonction. D’arcs ct dkjà% on
est en mesure de dire qu’il n’y aura aucune différence entre une transform@e
de Fourier calculée
nurrkriqucmcnt et la skie de Fourier. En effet nous avons procédé à l’extension de l’intervalle
dc définition des fonctions périodiques pour parvenir & l’étude des transformks dc Fourier, mais
maintenant nous ne sommes cn mesure que de traiter numériquement les fonctions définies sur
un inkrvalle fini... Il va de soi que les algorithmes que nous allons décrire pcrmcttront dc calculer
les co&icients des développements cn skie de Fourier. Avant d’cntrcprcndre à proprement
parler l’ktude des algorithmes fondamentaux, il nous faut rappclcr les propriktés essentielles
des fonctions échantillonnées et dc leur tra,nsformée
de Fourier.
a. Lc pas d’khantillormage est h = a/(2n) et la période de la fonction f(z) est a, alors: dans
l’espace réciproque, la période de la transformke de Fourier F(t) est T = [-1/(2h), +1/(2h)l
et son pas d’échantillonnage est T = l/u.
b. Le calcul des khantillons de la transformée de Fourier F(t) se fait, selon 1me progression
arithmétique de raison T. On calcule donc ~TL points dans l’espace réciproque.
On démontre qu’aucune information n’est perdue en opérant de cette sorte. 2n points en
progression arithmétique sont nécessaires et, suffisants. Le fait de prendre davantage de points
n’apportera rien en prkision et cela ne fera qu‘accroître le temps dc calcul. En revanche, il
existe un probkmc beaucoup plus délicat qui est celui de déterminer convenablement la période
d’échant,illonnage h. Nous reviendrons cn détail sur ces problèmes.
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