16.
LES TRANSFORMÉES DE F OURIER
L’exploitation dc cette dernière égalité 6x1 liaison avec la convolution donrw également une
expression intéressante concernant une forme de produit scahire :
(.f(x; - u),g*(x)) = Tf(x ~ su)g*(x) dz = ~r(t)G*(t)exp(2Tjtu)
dt,
-00
-cc
d’aprh le théorème de translation sur l’axe des abscisses. Par ailleurs, iious ~VOI~S les relations :
tm
.i’
f(-x) exp(2njtx) dx = F(-t)
+a
J’
f(-.x + u) exp(2rjtx) dz = F(-t) exp(2njtu),
-cc
il s’ensuit :
(f(-x + u),g*(x)) = /i(x ~ u)g*(x) dx = /i’(-t)G*(t)
exp(2xjtu) dt.
pc.2
-cia
En rappelant que :
+CC
+m
*
s
g*(x) exp(2Tjtx) dz =
[.
/
g(x) exp(-2rjtz) dz
-00
-cc
I
= G*(-t),
et, eu remplac;ant g*(x) par g(x) on change G*(t) en G(-t), on peut, krirc :
(f-x + u), g(x)) = /i(x - u)g(x) dz = /‘ii)G(-t) exp(2;rjtu) dt.
Maintenant, remplac;orls t par -t dans la dernière @alité, nous ohtcnons :
(f(u ~ x), g(x)) = lmf(x - u)g(x) dz = /R’(t)C(i) exp(-2njtu) dt
-00
-00
soit, encore :
(f(u - x), g(x)) = /F(t)G(t) exp(-2rjtu) dt.
-(w
Si l’on fait IL = 0, on obtient l’cxprcssion :
U-x), g(x)) = (F(t), G(t)).
Comme f(z), g(x) d‘une part, F(t), G(t) d’autre part jouent des rôles syrrktriqucs, compte
~IN de la réciprocité des transformations de Fourier, on a les autres relations :
(f(x)> g(-2)) = P’(t), G(t))>
(f(x)> s(x)) = P-t), G(t)),
(f(:~), g(x)) = (F(t), G(W)).
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