MANUEL LIE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
Tableau 16.1.
f (xl
réelle paire
réelle impaire
imaginaire paire
imaginaire impair2
complexe paire
complexe impaire
réelle quelconque
imaginaire quelconque
partie réelle paire ;
partie imaginaire impaire
partie réelle impair-c ;
partie imaginaire paire
F(t)
rklle paire
imaginaire impaire
imaginaire paire
réelle impaire
complexe pair-c
complexe impaire
par-tic reclle paire ;
par-tic imaginaire impaire
partie imaginaire paire ;
partie recllc impaire
rkllc quelconque
imaginaire quelconque
Si f(x) et y(x) appartiennent à L2, ces fonctions admettent chacune une transformée de
Fourier désignée respcctivernent par F(u) et G(u). C omme nous avons l’cgalité de Parseval :
/’ f(x)f*(z) dz = / F(t)F*(t) tlt,
-00
-00
IlOuS allons en déduire quelques propri+% sur le produit scalaire des fonctiorls appartenant à
L2. La linearité de l’opération d’intégration nous permet d’ecrire :
+CO
/- [f(x) +y(~)] [f*(x) + g*(z)] dz = r,F(,, + G(t)] [F*(t) + G*(t)] dt,
-00
-00
et
+CC
I’ [f(x) + jg(x)] [f*(x) ~ jg*(x)] dz = J,F(t) + jG(t)] [F*(t) - jG*(t)] dt.
--m
-cc
La combinaison de ces deux relations jointe a l’egalitt: de Parseval IIOUS dorme :
+CC
/’ f(x)g*(x) dx = /P(i)(:‘(t) dt.
-00
-x
258