16. LES TRANSFORMJhS DE: FOU~~I~~
Alors, g(z) est bornée et l’intégrale définissant le produit de convolution cxistc. Rcmplac;ons
g(z) par sa transformée de Fourier dans 1’intAgralc (16.13) :
En inversant l’ordre des intkgrations, on obtient :
+CC
+LX
.
h(x) =
.I
G(t) exp(-2jKtz)
s
f(w) exd2Wy) h
dt
-430
pc.2
ct par suitje :
+CE
h(x) = J
G(t)F(t) exp-2jdx) dt,
h(x) ét,ant une fonction bornée et la fonction [G(t) . F(t)] appartenant & L1, il s’ensuit que h(z)
est la transformkc dc Fourier dc G(t) F(t).
La démonstration est encore plus simple si f(x) et G(t) appartiennent à L2 ; cn effet, on sait
que les transform~cs de Fourier g(z) ct F(t) appartiennent % L2. Il s’ensuit que la transformte de
Fourier transforme un produit de convolution en un produit simple de transform@es
de Fourier.
On résumera les opérations ainsi :
f(x) 3 F(t)
g(x) yl-i G(t)
f *9 3 F. G
f.g 111-; F+G
5.2. Remarque sur le sens de la transformée de Fourier
Du point de vue de la physique, la connaissance de la fonction f(x) est stricteruent équivalente
à la connaissance de la fonction F(t) ; l’une et l’autre fonctions conticnncnt exactcmcnt la même
information. Par ailleurs, 1’Cgaliti: dc Parseval n’est rien d’autre que l’expression du principe de
conservation dc l’hcrgic.
5.3. Sur la symétrie et la parité des fonctions
Si la fonction f(x) possede certaines propriétés de symétrie il en va de même de sa transforrnée
dc Fourier F(t). Le tableau 16.1, page suivante donne les principales correspondances.
5.4. Transformées de Fourier et produit scalaire
Lc produit scalaire de deux fonctions p(x) et g(x) est défini par l’intégrale du produit des deux
fonctions :
(f(x),g(x)) = /i(x)g(x) dn: (= /f(x)g*(x) d 2 si les fonctions sont complcxcs).
-!x.
-cIcI
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