M,~NuEL
D E CALCUL NTJMÉRIQUE APPLIQUÉ
Propriétés fondamentales
Si f(z) appartient à L2, on peut dknontrer que F(t) appartient aussi à L2 et que nous conservons
l’égalit6 de Parscval :
+CC
+Oc
J’
,f”(Lc) an: = .I’
F2(t) dt.
-30
-31:
Ch démonstrations reposent sur les propriétés des suites de Cauchy. Les autres propriétés
rencontrées dans l’espace L’ restent vraies dans l’espace L2 à savoir : la linéarité, la translation.
la dilat,atlion d’abscisse.
5. Produit de convolution dans les espaces L1 ou L2
C’est un problème qui joue un rôle important cn physique ct en traitement du signal. Notarnment. toutes les mesures expérimentales sont les rRsultats du produit dc convolution du signal
fondamental et dc la fonction d’appareil. Par exemple, en spectroscopie, l’ohscrvation d’une raie
est le produit de convolution du profil donné par la source lumineuse ct de la fonction d’appareil
qui a permis l’observation. Si l’on utilise im spectromètre à fentes, en prcmièrr approximation.
la fonction d’appareil est constiti& de la «fonction fente > > (triangle isocCle).
5.1. Définition
On appelle produit de convolution de deux fonctions f(z) et 9( )
z une fonction h,(z) définie par
l’int6grale :
+X2
.!
*
h(z) =
f(?/)dlr: ~ Y) dz/
(16.13)
qui est notée d’une faLon plus concise : h = f * g.
Remarque : Le produit de convolution est commutatif, c’est-à-dire que h = f *g = g * f. Il faut
respecter certaines conditions pour que cette intkgrale existe. L’existence est, assurée notamment
quand p et g appart,iennent à L1 ou L’.
Supposons qur les fonctions f(z) et G(t) appartiennent, à L’, dc telle sorte que :
+33
F(t) = / f(x) cxp(j27rzt) dz
et
.9(z) = ./’
G(t) exp( -j27rzt) dt.
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