16. LES TRANSFORMÉES
DE FO~R~ER
7. La réciprocité dc la transformée de Fourier pose un problème dklicat. En effet, l’intkgrale
(16.7) est prise au sens de Lehesgue, et sa valeur n’est pas modifiée quand on change les
valeurs de f sur un enscmhle dr mesure nulle.
8. Si f et F appartiennent ensemble à L1, alors nous avons 1’Cgalité dc Parseval (1755 -1836) :
+^c>
/’ I~(:I$ c1.r = i,F(t),’ dt.
(16.11)
-oc;
-Ix
Il faut alors des propriktts dc continuitk pour dCterminer
.f( )
I I ” en t,out point, a partir de
F(t). Du point de vue du physicien: l’Égalité de Parseval nc fait que traduire lc principe de
conservation de l’bnergie.
3.3. Exemples de fonctions transformées de Fourier l’une dans l’autre
f(x) &fi F(t)
exp( -7r.2.‘)
4=-G exp( 4”)
exp(-27474)
fi
1
7r(l + t”)
1
= 1 si z appartient à (-1/2, +1/2)
f(x)
7’6
ski(&)
ts7 r - t
= 0 ailleurs
(= 1 si Ic appartiern à (a, b)
f (xl
I
= 0 ailleurs
23
sin[&(h ~ u)]
i Tt
cxp[j7rt@ ~ u)]
Dans ces deux derniers cas, F(t) n’appartient pas à L1, cependant la transformée dc Fourier
inverse existe si l’on prend la valeur principale au sens dr Cauchy.
I
= 1 - ]n*l si .r appartjicnt a (-1, +l)
P(z)
25
ski(&)
’
(
>
7 r t
I= 0 ailleurs
4. Les transformées de Fourier dans l’espace L*
On dit, que .f (2;) à valeurs rklles ou complexes a.pparticnt à L2 si l’on a :
+CC
f”(:x) dz = if]‘,
. /’
(16.12)
c’est-a-dire que l’intégrale existe.
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