MANTJEL r]E CALCIJL NUMERIQUE APPLIQUÉ
existe si f(,z) appartient à L’.
En effet, on a les inégalitbs suivantes :
+CC
+Oc
.I’
f(z) exp(27rjzt) dz < .I
If(z)1 dz = .f().
- -00
Donc F(t) existe pour tout t, de plus F(t) est bornée uniforrnhent :
IF(t)1 < I.f(x)I
3.2. Propriétés essentielles dans L1
R.appclons que l’on note :
f (xl r, F(t)
1. La T.F. est linéaire.
2. La translation qui consist,e à changer .r en (z - I r/) donne :
f(x -Y) 3 F(t) exp(2rjty).
(16.8)
3. La syrnktrie donne :
f(x) exp(-2r,jm) 3 F(t - z).
(16.9)
4. La dilatation d’abscisse, si a # 0, donne :
(16.10)
Il faut, bien noter que le cas particulier ~ 1 . = 0 nc prtsentc pas beaucoup d’inthêt. En effet.
si 0, = 0, .f(O) est une coristantc et la fonction constante n’appartient pas à L’.
5. Si f(z) appart,ient à L1 et si la fonction XI(:~) appartient, aussi à. L1; alors F(t) admet, I)artout
une dkrivke F’(t) Imrnke qui est la transformée de Fourier de 2~,jzf(z) :
2-irjz.f (z) r_F; F’(t).
Si f(x) est dériva& n fois, ct, si f(z) ainsi que sw n, prerniàres
dkrivhs a.ppartjicnrirntj
à
Ll ,l
, d ors :
ou encore
6. Continuité de la transformée. Si i(z) appartient 5 L1 sa transformhe de Fourier F(t) est
uniforrriémcnt continue pour toute va.leur de t.
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