16. LES TRANSFORMÉES DE F OURIER
Dans ce paragraphe, nous dksirons
rappeler les résultats t,héoriqucs
essenticls. Il faut bien
reconrlaître que l’usage pratique des transform6es dc Fourier passe exceptionnellement par les
considérations qui vont suivre, le physicien rencont,rant
en gCnkra1 < t de honncs fonctions ». Quoi
qu’il en soit,, un survol rapide de la t,hkorie doit, permettre d’éviter quelques pièges que l’on peut
rencontrer dans la théorie des fonctions khantillonnées. Le prohkme fondamerkal repose sur les
conditions d’existence de 1’intCgrale dc Fourier qui est l’une des expressions (16.6).
Disons tout, dc suite que la notion d’intbgralc de Riemann ne suffit plus pour l’ttudc de
tels problèmes, et, que l’on doit lui substituer la notion d’intkgrale au sens de Lebesguc (1875
1941). Voici pourquoi : lc point essentiel repose sur le fa.it, que la limite d’une suite de fonctions
intégrablrs n’est pas nécessairement une fonction intkgrablc ni au sens de la convcrgencc simple
ni au sens de la convergence uniforme. Le lecteur intércss6 trouvera des d&eloppcments et des
exemples dans les ouvrages citts en bibliographie : cn particulier, des exemples de fonctions
bornées qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann.
2.2. Conclusions
a. L’espace L1 des fonctions sommables au sens de Riemann n’est pas complet puisyw la limite
d’une suite de fonctions intégrablcs au sens de L1 n’est pas n6cessaircmc~nt
une fonction
int,kgrable.
b. Il existe des fonct,ions parfaitement, d&nics qui ne sont pas intégrahles a.11 sens de Riemann.
C’est, le cas dc fonction discontinues nc comportant que des discontinuitk de prcmike espèce.
Les rnathérnaticiens ont trouvé une définition plus génkrale dc l’intégrale de Riemann afin
que L’ soit toujours ml espace vectoriel, complet au sens de la norme L1. Au fond; il s’agit
d’un élargissement de la classe des fonctions intégrables. C’est k Henri Lchesguc (18751941)
que revient le merite d’avoir découvert la nouvelle intégrale en 1902. Non seulcmcnt l’espace
L1 devient un espace complet mais aussi L2, ce qui lui confkre un intéret de tout premier plan
lors dc I’étudc des séries de Fourier et des développements en skies dc fonctions orthogonales.
Nous ne parlerons pas davantage de cette intkgrale qui passe par la notion d’intégration dc
mesures abstraites. Insistons toutefois sur un point csserkiel : lorsque l’intégrale de Riemann est
rkellerncnt calculable, elle donne lc mêrnc résultat que l’intégrale de Lebcsgue.
3. La transformée de Fourier dans l’espace L1
On dit que f(z) appartient à l’espace L’ si, pour la fonction f(z) ü valeurs récllcs ou complexes,
on a :
+LX
.I’
If(x)1 dz = h (fi fini).
(16.7)
Ici, la norrne est celle de la convergence en moyenne.
3.1. Théorème
La transformée de Fourier
+C=
F(t) = .i
f(x) exp(2njTjzt)
dz
-CU
253
Dans ce paragraphe, nous dksirons
rappeler les résultats t,héoriqucs
essenticls. Il faut bien
reconrlaître que l’usage pratique des transform6es dc Fourier passe exceptionnellement par les
considérations qui vont suivre, le physicien rencont,rant
en gCnkra1 < t de honncs fonctions ». Quoi
qu’il en soit,, un survol rapide de la t,hkorie doit, permettre d’éviter quelques pièges que l’on peut
rencontrer dans la théorie des fonctions khantillonnées. Le prohkme fondamerkal repose sur les
conditions d’existence de 1’intCgrale dc Fourier qui est l’une des expressions (16.6).
Disons tout, dc suite que la notion d’intbgralc de Riemann ne suffit plus pour l’ttudc de
tels problèmes, et, que l’on doit lui substituer la notion d’intkgrale au sens de Lebesguc (1875
1941). Voici pourquoi : lc point essentiel repose sur le fa.it, que la limite d’une suite de fonctions
intégrablrs n’est pas nécessairement une fonction intkgrablc ni au sens de la convcrgencc simple
ni au sens de la convergence uniforme. Le lecteur intércss6 trouvera des d&eloppcments et des
exemples dans les ouvrages citts en bibliographie : cn particulier, des exemples de fonctions
bornées qui ne sont pas intégrables au sens de Riemann.
2.2. Conclusions
a. L’espace L1 des fonctions sommables au sens de Riemann n’est pas complet puisyw la limite
d’une suite de fonctions intégrablcs au sens de L1 n’est pas n6cessaircmc~nt
une fonction
int,kgrable.
b. Il existe des fonct,ions parfaitement, d&nics qui ne sont pas intégrahles a.11 sens de Riemann.
C’est, le cas dc fonction discontinues nc comportant que des discontinuitk de prcmike espèce.
Les rnathérnaticiens ont trouvé une définition plus génkrale dc l’intégrale de Riemann afin
que L’ soit toujours ml espace vectoriel, complet au sens de la norme L1. Au fond; il s’agit
d’un élargissement de la classe des fonctions intégrables. C’est k Henri Lchesguc (18751941)
que revient le merite d’avoir découvert la nouvelle intégrale en 1902. Non seulcmcnt l’espace
L1 devient un espace complet mais aussi L2, ce qui lui confkre un intéret de tout premier plan
lors dc I’étudc des séries de Fourier et des développements en skies dc fonctions orthogonales.
Nous ne parlerons pas davantage de cette intkgrale qui passe par la notion d’intégration dc
mesures abstraites. Insistons toutefois sur un point csserkiel : lorsque l’intégrale de Riemann est
rkellerncnt calculable, elle donne lc mêrnc résultat que l’intégrale de Lebcsgue.
3. La transformée de Fourier dans l’espace L1
On dit que f(z) appartient à l’espace L’ si, pour la fonction f(z) ü valeurs récllcs ou complexes,
on a :
+LX
.I’
If(x)1 dz = h (fi fini).
(16.7)
Ici, la norrne est celle de la convergence en moyenne.
3.1. Théorème
La transformée de Fourier
+C=
F(t) = .i
f(x) exp(2njTjzt)
dz
-CU
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