15. LES S ÉRIES DE FOURIER
et, en reportant la relation (15.16) dans la dernièrt intégrale, il est possible d’écrire :
dl
aA,,, = 2
c Ak exp(jkw&) - T(w) exp(jmw&)dw.
1
En faisant usage de la relat,ion d’orthogonalité :
+TT/ Ot
.I
exp[jw(m + k)&]dw = zLTn,k.
on en déduit que :
+r/h‘t
A.2 k 2iT .I
T(w) exp( -jkwSt)dw.
-T/&
Deux remarques s’imposent :
a. Les Ak sont indépendants de M et N.
b. Les Ak sont les coefficients de Fourier du développement de la fonction de transfert T(w).
12.1. Application à l’étude d’un filtre passe-bas
a - Nous allons porter notre attention sur un des filtres les plus simples à réaliser : la fonction
«fenêtre » dans l’espace réciproque de Fourier. Ce filtre se définit de la façon suivante :
0 5 lwl 5 Wl
T(w) = 1:
f-4 I /WI I n/bt
T(w) = 0.
Comme c’est manifestement 1111 filtre symétrique, les termes en sinus sont nuls. Il reste a
calculer les termes en cosinus :
A/i = ; cos(kw16t)
WiSt
avec Au = ~
Iib - Il est préfcrable d’utiliser un filtre constitué d’une fonction continue afin de reduire les
oscillations données par l’approximation. Aussi, pourra-t-on choisir un filtre du type suivant :
Wl I /WI < wz
T(w~={~+cos(d3}:2
w2 5 lwl < 7r/&
T(w) = 0.
Tous calculs faits, on trouve les coefficients suivants :
Ah: =
7T
2k [7r” ~ k26t2(w2 - WI)21
[sin(kw&) + sin(kwr&)]
avec Au = (w2 + wl)St .
2n
Un bon exercice consiste à représenter lc filtre théorique ainsi que la fonction de transfert
approchée pour N = M = 20 (cf. équation (15.15))) e nsuite, d’appliquer ce filtre à une fonction
présentant des irrégularités (courbe expérimentale entachée d’erreur).
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