12.2. Remarques sur les opérations mathématiques réalisées lors du filtrage
L’q+rat,ion de filtrage que nous venons dc réaliser traduit une convolution dans liespacc direct.
Dans l’espace réciproque de Fourier nous avons réalis6 lc produit simple de deux fonctions qui
sont la transform& de Fourier de la fonction f(t) à filt. rcr ct de la fonction < X fenêtre 8 T(w)
qui est, 1111 filtre passe-bas. Dc retour dans l’espace direct, le produit simple de deux fonctions
est transformé en produit dc convolution. Nous reviendrons sur ces aspects des problèmes
cn
abordant 1’Rtudc des transformées dc Fourier. Cette derni6rc rcmaryuc prend tout son sens quand
on passe à la programmation qui se rbduit au calcul du produit de convolution dc fonctions
p&iodiqur:s. Notons hicn, ici, que la fonction de transfert est sym6triyue ce qui peut donner
l’illusion de calculer imc fonction de corrélation..
Oii trouvera sur le Web (*) lc programme filtre. c qui ri:alise le filtrage de données numériques entachées d’crrcur.
13. À propos du développement des fonctions non périodiques
Il est parfaitement 1i:gitime de développer cn série de Fourier (au sens large) une fonction f(z)
non p62riodique dans la. mcsiire où l’intcrvülle dc définition (a, 6) (1st fini et que la fonction
Sat)isfait aux conditions légitimes du d6vcloppemcnt. Il existe une restriction importante dans
la mesure on l’on ne pr,iit pas se servir du d6vclopprment en dehors de l’intervalle de définition
de la fonction. Par ailleurs. il est convenable de dire que lc développement en s6rie de Fourier
const,itue un prolongement analytique dc la fonctjion f(z) en dehors de l’intervalle (a, b).
En ce qui concerne les fonctions non p&iodiyues définies sur un intervalle infini, elles font,
l’objet de traitements spbziaux appelés transformations de Fourier.
14. Calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L*
Dans certains cas, le calcul d’une série au moyen de ses coefficients est un protGmc mal posé
dont on trouvera 1’6tude dans l’ouvrage de Tikhonov citk cn bibliographie. Voici un exemple
concernant une série convergente :
fi(t) = 2 ar, cos(nC).
n=n
Supposons que Ics coeficicnts a, soient enta&& d’erreur ct que l’on ait :
c, =a,, + -
avec cg = ao.
n
A la place dc fl (t) on obtient la fonct,ion
00
fz(t) = c CLr, cos(nt).
71-O
Dans la m6triyue de L", les coefficients différent de :
donc ~1 est aussi petit que 1’011 veut.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
246
L’q+rat,ion de filtrage que nous venons dc réaliser traduit une convolution dans liespacc direct.
Dans l’espace réciproque de Fourier nous avons réalis6 lc produit simple de deux fonctions qui
sont la transform& de Fourier de la fonction f(t) à filt. rcr ct de la fonction < X fenêtre 8 T(w)
qui est, 1111 filtre passe-bas. Dc retour dans l’espace direct, le produit simple de deux fonctions
est transformé en produit dc convolution. Nous reviendrons sur ces aspects des problèmes
cn
abordant 1’Rtudc des transformées dc Fourier. Cette derni6rc rcmaryuc prend tout son sens quand
on passe à la programmation qui se rbduit au calcul du produit de convolution dc fonctions
p&iodiqur:s. Notons hicn, ici, que la fonction de transfert est sym6triyue ce qui peut donner
l’illusion de calculer imc fonction de corrélation..
Oii trouvera sur le Web (*) lc programme filtre. c qui ri:alise le filtrage de données numériques entachées d’crrcur.
13. À propos du développement des fonctions non périodiques
Il est parfaitement 1i:gitime de développer cn série de Fourier (au sens large) une fonction f(z)
non p62riodique dans la. mcsiire où l’intcrvülle dc définition (a, 6) (1st fini et que la fonction
Sat)isfait aux conditions légitimes du d6vcloppemcnt. Il existe une restriction importante dans
la mesure on l’on ne pr,iit pas se servir du d6vclopprment en dehors de l’intervalle de définition
de la fonction. Par ailleurs. il est convenable de dire que lc développement en s6rie de Fourier
const,itue un prolongement analytique dc la fonctjion f(z) en dehors de l’intervalle (a, b).
En ce qui concerne les fonctions non p&iodiyues définies sur un intervalle infini, elles font,
l’objet de traitements spbziaux appelés transformations de Fourier.
14. Calcul des séries de Fourier à coefficients approchés dans L*
Dans certains cas, le calcul d’une série au moyen de ses coefficients est un protGmc mal posé
dont on trouvera 1’6tude dans l’ouvrage de Tikhonov citk cn bibliographie. Voici un exemple
concernant une série convergente :
fi(t) = 2 ar, cos(nC).
n=n
Supposons que Ics coeficicnts a, soient enta&& d’erreur ct que l’on ait :
c, =a,, + -
avec cg = ao.
n
A la place dc fl (t) on obtient la fonct,ion
00
fz(t) = c CLr, cos(nt).
71-O
Dans la m6triyue de L", les coefficients différent de :
donc ~1 est aussi petit que 1’011 veut.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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