MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
12. Application des séries de Fourier au filtrage numérique
D’un point dc vue très simple, le filtrage numérique est une opcration linéaire que 1’011 réalise
dans l’espace reciproquc:
de Fourier dans le but de modifier lc spectre dc fréquences ou de
nombre d’ondes (filtre passe-bas, filtre passe-haut, ct filtre passe-bande pour faire reférence
aux applications radioclectriques). Ensuite on rctournc à l’espace direct. Nous reviendrons
plus en détail sur ces espaces, car pour ce qui concerne les séries de Fourier cette distinction.
pointant fondamentale, est peu perceptible dans la rncsure ou les fonctions sin(nw2;) et cos(nwJ)
dépendent directement des arguments de l’espace direct ct de l’espace reciproque. c’est-a-dire z
et w.
Pour fixer les idees nous allons etudier un filtre sans contrainte. On prut dire qu’un filtre
linéaire est tout simplement un ensemble fini de coefficients Ak qui dépendent,
uniqucmrnt
de l’opcration que l’on souhaite réaliser mais certainemcnt~
pas de la fonction f(t) a filtrer.
coefficients qui viennent ponderer les valeurs des echantillons :
a(t) = 2 Akf(t + kht),
(15.15)
k=-M
où Q(t) représente la fonction filtrée à l’instant t, 6t représente l’intcrvallc de temps entre deux
~cliant,illonnages, M et, N sont deux entiers positifs.
L’etude des filtres numériques lineaires peut passer par la notion de fonction de transfert. On
Ctudie donc l’action du filtre sur un signal sinusoïdal que nous écrirons :
f(t) = exp(,jwt).
Par définition, la fonction de transfert en w du filtre (15.15) est donnée par l’expression :
T(W) = @ct)
w(.%-t) ’
on obtient, donc :
T(w) = e Ahexp(jkw&).
k=-nr
(15.16)
Très souvent on SC donne une fonction de transfert T(w), et il s’agit alors d’exprimer les
coefficients Ak correspondant à un filtre dont, la fonction de transfert T_A~N(W) soit la plus
voisine de T(w) au sens des moindres carrés. Autrement dit ~ il convient de minimiser, dans
l’espace réciproque de Fourier, l’intkgrale calculée sur une pcriode 27r/St :
in/ht
1= J
JT-*fN(w) - T(w)lL dw.
-/Jr
Il s’ensuit que les Ak sont tels que :
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
12. Application des séries de Fourier au filtrage numérique
D’un point dc vue très simple, le filtrage numérique est une opcration linéaire que 1’011 réalise
dans l’espace reciproquc:
de Fourier dans le but de modifier lc spectre dc fréquences ou de
nombre d’ondes (filtre passe-bas, filtre passe-haut, ct filtre passe-bande pour faire reférence
aux applications radioclectriques). Ensuite on rctournc à l’espace direct. Nous reviendrons
plus en détail sur ces espaces, car pour ce qui concerne les séries de Fourier cette distinction.
pointant fondamentale, est peu perceptible dans la rncsure ou les fonctions sin(nw2;) et cos(nwJ)
dépendent directement des arguments de l’espace direct ct de l’espace reciproque. c’est-a-dire z
et w.
Pour fixer les idees nous allons etudier un filtre sans contrainte. On prut dire qu’un filtre
linéaire est tout simplement un ensemble fini de coefficients Ak qui dépendent,
uniqucmrnt
de l’opcration que l’on souhaite réaliser mais certainemcnt~
pas de la fonction f(t) a filtrer.
coefficients qui viennent ponderer les valeurs des echantillons :
a(t) = 2 Akf(t + kht),
(15.15)
k=-M
où Q(t) représente la fonction filtrée à l’instant t, 6t représente l’intcrvallc de temps entre deux
~cliant,illonnages, M et, N sont deux entiers positifs.
L’etude des filtres numériques lineaires peut passer par la notion de fonction de transfert. On
Ctudie donc l’action du filtre sur un signal sinusoïdal que nous écrirons :
f(t) = exp(,jwt).
Par définition, la fonction de transfert en w du filtre (15.15) est donnée par l’expression :
T(W) = @ct)
w(.%-t) ’
on obtient, donc :
T(w) = e Ahexp(jkw&).
k=-nr
(15.16)
Très souvent on SC donne une fonction de transfert T(w), et il s’agit alors d’exprimer les
coefficients Ak correspondant à un filtre dont, la fonction de transfert T_A~N(W) soit la plus
voisine de T(w) au sens des moindres carrés. Autrement dit ~ il convient de minimiser, dans
l’espace réciproque de Fourier, l’intkgrale calculée sur une pcriode 27r/St :
in/ht
1= J
JT-*fN(w) - T(w)lL dw.
-/Jr
Il s’ensuit que les Ak sont tels que :
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