15. LES SÉIUES DE FOURIER
L’erreur sera rendue minimum cn utilisant la propriété essentielle des polynômes de Tchehychcff, ce qui nous imposera le choix des abscisses, à savoir :
22+17r
cY=cos
~( >
r1+12
avec i = 0,1,2,3,. ;n.
Ces valeurs reportées dans l’expression du polynôme permettent, d’obtenir une formule
fournissant l’erreur minimum au sens de Tchebychcff. Pour des raisons pratiques, il est possible
d’opérer dc la facon suivante : toute puissance de 2: notée zk, peut s’exprimer au moyen d’une
combinaison linéaire de polynômes de Tchebycheff dont les degrés sont égaux et, infkieurs & k.
Donc, formrllemcnt :
Il nous reste alors à calculer les coefficients pk. Pour cela; nous allons kcrire l’erreur minimum
E,, (x) sous la forme d’un polynôrne de Tchehycheff :
Posons alors 5 = COS(&). Eu égard a la définition des polynômes de Tchebychcff, on prut krirc :
~[COS(Q)] = cpi CO~(~Q) + En cc=(Q) = Q(Q),
k=O
tn se souvenant que pour les valeurs et pour les valeurs
2i+17r
Qt=-n.+12’
nous avons :
Q(Qi) = cpi. CO~(~Q~).
k=O
Les coefficients pk sont donc les coefficients du dkveloppement
en skie de Fourier, tronqué à
l’ordre 72, dc la fonction paire ~[COS(Q)]. On peut écrire :
Po = & 2 Q(Qi)
k=O
ou cncorc :
243