MANUEL
DE
CALCLJL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Soit encore :
(15.14)
Les coefficients sont alors donnes par les expressions suivantes :
’
ars - jb,, = 1
2
T.
/ f(x)[cos(nwz) - j sin(nwz)] dn: = $ / f(z) cxp(-,jnwzr) dz
0
Si l’on rcmarquc que l’on obtient (a, - jb,,)/2
on t,rouvc des formules plus faciles d’emploi cn
Alors, la série trigonométrique s’écrit :
Cc
0
à partir de (n, + jb,)/2 CII changeant n en -n,
posant :
c,, exp(jnwz).
ct les coefficients sont donnCs par l’expression :
Il faut bien noter que ces dernières expressions n’apportent rien de plus que les preccdentes du
point de vue du calcul, mais elles servent d’introduction commode aux transformces de Fourier.
11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff
Les problèmes d’approximation au sens dc Tchebycheff ne sont pas à dissocier dc l’étude des
séries de Fourier. Soit une fonction f(z) continue à dérivées continues sur un intervalle (a; b).
Nous recherchons une approximation g(z) de la fonction f(z) dans cet intervalle de telle sorte que
sup If(z) - g(z)1 soit lc plus petit possible. C’est ce qui est convenu d’appeler l’approximation
au sens de Tchebycheff.
Examinons le cas où g(z) est un polynôme P,(z) de degré n. Pour l’amour de la simplicité et
en faisant usage d’une transformation linéaire classique, ramenons l’intervalle (a, b) à l’int,ervalle
canonique (-1, +l). R,appelons rapidement quelques résultats fondamentaux relatifs à l’interpolation par des polynômes. Le polynôme qui passe par les ( ~2. + 1) points d’abscisse cv, est le
polynôme de Lagrange L,(z) dc degri: n. L’erreur commise &(x) est donnce par l’expression :
où 7 appartient à l’intervalle (- 1, + 1).
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DE
CALCLJL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Soit encore :
(15.14)
Les coefficients sont alors donnes par les expressions suivantes :
’
ars - jb,, = 1
2
T.
/ f(x)[cos(nwz) - j sin(nwz)] dn: = $ / f(z) cxp(-,jnwzr) dz
0
Si l’on rcmarquc que l’on obtient (a, - jb,,)/2
on t,rouvc des formules plus faciles d’emploi cn
Alors, la série trigonométrique s’écrit :
Cc
0
à partir de (n, + jb,)/2 CII changeant n en -n,
posant :
c,, exp(jnwz).
ct les coefficients sont donnCs par l’expression :
Il faut bien noter que ces dernières expressions n’apportent rien de plus que les preccdentes du
point de vue du calcul, mais elles servent d’introduction commode aux transformces de Fourier.
11. Approximation des fonctions au sens de Tchebycheff
Les problèmes d’approximation au sens dc Tchebycheff ne sont pas à dissocier dc l’étude des
séries de Fourier. Soit une fonction f(z) continue à dérivées continues sur un intervalle (a; b).
Nous recherchons une approximation g(z) de la fonction f(z) dans cet intervalle de telle sorte que
sup If(z) - g(z)1 soit lc plus petit possible. C’est ce qui est convenu d’appeler l’approximation
au sens de Tchebycheff.
Examinons le cas où g(z) est un polynôme P,(z) de degré n. Pour l’amour de la simplicité et
en faisant usage d’une transformation linéaire classique, ramenons l’intervalle (a, b) à l’int,ervalle
canonique (-1, +l). R,appelons rapidement quelques résultats fondamentaux relatifs à l’interpolation par des polynômes. Le polynôme qui passe par les ( ~2. + 1) points d’abscisse cv, est le
polynôme de Lagrange L,(z) dc degri: n. L’erreur commise &(x) est donnce par l’expression :
où 7 appartient à l’intervalle (- 1, + 1).
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