15. LES SÉRIES DE FOL~RIER
et, l‘on trouvera sur lc Web (*) lc programme dirac . c qui permet de calculer f’(z:) eu exploitant
le développement cn série.
9. Représentation des séries de Fourier avec un terme de phase
Dans bien des applications, et notamrncnt en &~ctricitb. il est souhait,ahle d’ut,iliser urlc autre
forme pour le dheloppemcnt en série dc Fourier (qui rend plus fa& d’emploi la uotion
d’impbdancc par exemple). On peut, alors prkfbrer conserver
uniyuemcnt~
ou les sinus ou les
cosinus ct faire apparaître à l‘intérieur des expressions un terme dc phase, soit, :
f(x) = 2 + 2 dl2 cos(nx ~ pll) = $ + 5 cl,, [COS(~~) COS(~,,) + siu(nr) sin((pT1)]
II =l
7t=1
En rapprochant cette expression du dévcloppemcnt (15.9)) nous obtenons par identification :
Q[] = d”
(1. ,I = 6, COS(%)
b,, = cl,, sin(prL)
cl,, = (signe dc u)Ja,,a + b7,x.
10. Écriture du développement sous forme complexe
Comme c’est à partir de cette étude yut nous allons établir les transformbes de Fourier. nous
procPderons
d’abord ü l’extension dc la pkriode yut l’on désigne par T au lieu de 27r. En posantj
ti = 27r/T, la série s’écrit, alors :
f(x) = 7 + g a, COS(TLWZ) + 5 b,, sin(nwrc).
1,=1
n=l
(15.13)
ct, les cocfficierits deviemlcnt :
T
b,, = g 7 f(z) sin(nwz) dz.
0
À présent, écrivons les cosimis ct les sinus en termes complexes :
COS(?LWIc)
=
exp(jnwz) + exp(-jnwrr:)
2
sin(rwz) =
exp(jnwz) ~ exp(-jnwz)
2.j
w qui dorme pour f(:r) l’expression :
f(r) = $ + -gu,>
exp(jnwz) + exp( -~TU,) + i: h,
exp(jnwz) - exp( -j??hJX)
2
II = 1
71=1
2.j
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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