MANUEL
DE
CALCTJL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Tableau 15.1.
0,990 709 731
0,999 733 562
1.008 519 556
1,016 728 834
1;024 054 265
1,035 047 814
1>038 349 421
1.040 045 437
1,038 581660
1,035 560 117
1.025 708 447
1,019 325 920
Sur le Weh (*): on dorme lc programme
epsi12. c qui mont,re ce gcnrr: dc calcul.
Remarque : Le phénomène dr Gihbs n’est pas propre au dk&qq~emcnt d’une fonction
prkentant mlc discontinuité de premitkc espke sur 1me l)asc de sinus et, de cosinus. Lc prol&me
est inhPrcnt à, chaque point, dc discontinuité quelle que soit la hsc de fonctions continues utilisée
et le d~vcloppemcnt continu nc peut en aucun cas représentc,r
convcnablemcnt ur1c discontinuitk.
Il n’en est plus de mCme si la base des fonctions (orthogonales si possihlc) est constitukc de
fonctions discont,inues t,elles que les fonctions de Hadamard, Walsh, Palcy et dc Haar. Les
points de discontinuitk ne sont plus la source d’oscillations. ct les fonct,ions
~c:hantillonn~es
sont parfaitement rendues.
8.2. Retour sur les fonctions f(x) présentant des discontinuités
Nous avons dit que la fonction f(z) admctt,ait un développement, en skie de Fourier mais
qu’au moins une skie dc coefficients (a,(, ou h,,) tendait vers zéro c:onmie l/n.. Si l’on dérive
chacun des deux mcmhres, on voit que lc seconde membre est une skie divergente
puisque
e’cst une série de terme en cos(krc) ou sin(kz). L‘rpsilon-algoritllme tire nkmmoins parti de ces
données en calculant les sommes partielles de la série divergente. ~NOUS avons pris pour exemple
la fonction qui vaut -1 pour z appartenant à l’intervalle (-T, 0) et -tl pour z appartenant, à
l’intervalle (0: 7r) :
la dbrivée s’bcrit :
le rnembre de droite est divergent alors que le membre de gauche est nul partout sauf aux points
n: = -T. æ = 0 et z = T où f’(z) est, 1111 pic (1~ Dirac. C’est hicn ce qur donne l’cpsilon-algorit,hlrle.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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DE
CALCTJL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Tableau 15.1.
0,990 709 731
0,999 733 562
1.008 519 556
1,016 728 834
1;024 054 265
1,035 047 814
1>038 349 421
1.040 045 437
1,038 581660
1,035 560 117
1.025 708 447
1,019 325 920
Sur le Weh (*): on dorme lc programme
epsi12. c qui mont,re ce gcnrr: dc calcul.
Remarque : Le phénomène dr Gihbs n’est pas propre au dk&qq~emcnt d’une fonction
prkentant mlc discontinuité de premitkc espke sur 1me l)asc de sinus et, de cosinus. Lc prol&me
est inhPrcnt à, chaque point, dc discontinuité quelle que soit la hsc de fonctions continues utilisée
et le d~vcloppemcnt continu nc peut en aucun cas représentc,r
convcnablemcnt ur1c discontinuitk.
Il n’en est plus de mCme si la base des fonctions (orthogonales si possihlc) est constitukc de
fonctions discont,inues t,elles que les fonctions de Hadamard, Walsh, Palcy et dc Haar. Les
points de discontinuitk ne sont plus la source d’oscillations. ct les fonct,ions
~c:hantillonn~es
sont parfaitement rendues.
8.2. Retour sur les fonctions f(x) présentant des discontinuités
Nous avons dit que la fonction f(z) admctt,ait un développement, en skie de Fourier mais
qu’au moins une skie dc coefficients (a,(, ou h,,) tendait vers zéro c:onmie l/n.. Si l’on dérive
chacun des deux mcmhres, on voit que lc seconde membre est une skie divergente
puisque
e’cst une série de terme en cos(krc) ou sin(kz). L‘rpsilon-algoritllme tire nkmmoins parti de ces
données en calculant les sommes partielles de la série divergente. ~NOUS avons pris pour exemple
la fonction qui vaut -1 pour z appartenant à l’intervalle (-T, 0) et -tl pour z appartenant, à
l’intervalle (0: 7r) :
la dbrivée s’bcrit :
le rnembre de droite est divergent alors que le membre de gauche est nul partout sauf aux points
n: = -T. æ = 0 et z = T où f’(z) est, 1111 pic (1~ Dirac. C’est hicn ce qur donne l’cpsilon-algorit,hlrle.
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
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