15. L ES SÉRIES DE E’OLJRIER
ct puisque
on obtient, :
sin(2,nt)
cas(t) + cos(3t) + ‘. . + COS[(272 - 1)t] = msino
3
Les cxtrernurns de S, (:E) sont donnés par sin(2nz) = 0. Soit encore :
lm
zk = !n
avec k= 1,2,3;...n,
La courbe reprkeutant S,,(X) va cffectucr une série d’oscillations pour un point 5 quclcouquc
choisi dans le voisinage de l’ordonnée y = 1. Ou voit sans trop dc difficultk que lc premier
maximum est le plus grand ; pour le calculer on peut écrire :
?r/‘h
71
sin(2nt) dt = 2
sin( 11, )
2 sin( t)
7l J’ 2n sir+L/2nj)
du
0
eu ayant, posé u = 2nz.
Pour les grandes valeurs de n et les petites valeurs de 5, on peut effectuer un dkveloppement
lin&6 de sin(u/2n) et remplacer cette expression par SU/~T~. Ainsi quand ‘II tend vers l’infini et
: r: vers zéro; on obtient :
2 7r
-i’
ski(u)
77
U
d7L = +T)>
i>
où Si(z) est la fonction sinus intkgral que l’on peut calculer au rnoycn du dbvcloppenlcnt en
série entière suivant :
Si(z) = & ~ 2
r
+ Y& - .
+
(-1)”
T2r2+l
(271, +‘i)!(272 + 1) + ”
La fouctiou reprksentée par la série trigonornétriquc fait un saut brusque d@passaut de 17 O / c
la valeur de g(x). Pl us on prend de termes, plus cette anomalie se trouve repoussée sur l’axe
des y.
8.1. Usage de I’epsilon-algorithme et disparition du phénomène de Gibbs
Nous allons appliquer l’epsilon-algorithrnc à la suite des sommes partielles S,, (x). Nous avons
considk+ les termes depuis 5’71 jusqu’à Ss5 pour la valeur z = 0,l de l’argument. Les résultats
t,rouvks sont présentés dans le tableau 15.1, page suivmte.
L’cpsilou-algorithme appliquk à ces quinze valeurs donne le résultat suivant :
0.999 998 031
On voit que l’epsilon-algorithme fait disparaître le fkheux phCnorr&ne
de Gibbs et 1~s
iuccssantes oscillations au voisinage d’un point de discontinuité.
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