MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Un exemple numérique - On a fabriqué une dent dc scie tout à fait analogue à la première
fonction développée, et il est intéressant de noter le comportements
de l’approximation au
voisinage de la discontinuitk de la dérivée première. On a. tronqué la skie trigonomktriquc à
l’ordre 10.
On trouvera sur le Web (*) le programme echantil . c riialisant la dkmlposition en série de
Fourier de fonctions périodiques connues au moyen d’un écllantillonnage déterminb
selon des
abscisses cn progression arithmétique.
7. Cas où la fonction est discontinue à l’origine
Dans ce cas, la notion de pi:riodicit@ au sens strict ne s’applique plus: ccpcndant, cela ne change
rien à l’analyse prkédemmcnt réalisée; en effet deux solutions pcuvcnt Ctrc apportées à ce
problème :
1. On choisit comme nouvelle origine un point où la fonction est, corkinue ; ainsi il n’y a plus de
discontinuité à l’origine et ce faux prohlèmc
a disparu.
2. On sait très bien obtenir lc développement en série de Fourier des fonctions en dent de scie
présentant une discontinuité à l’origine. Par conséquent 7 il suffit dc r(%ranclicr convenablement
une fonction cn dent dc scie qui annule la discont,inuité. En faisant usa.ge de la. propriété de
linéarité des intégrales, on déduit que le développement en série clc Fourier de deux fonctions
développables est, la somme de chacml des deux développcmcnts ; cc qui rkout, notre prolAkne.
8. Le phénomène de Gibbs (1839-1903) et I’epsilon-algorithme
Il s’agit d’étudier le comportement du développement en série de Fourier de la fonction f(x)
au voisinage d’un point de discontinuité. Nous allons nous intéresser A un cas très classiqur
constitué par la fonction « rectangle » ou fonction «fente » :
(J(“) 1
i
-l si -7T < c c < 0
$-1 si
O
Bien que g(z) tcndc vers fl, lc dCvcloppcment
associk f(z) l
c ui rst continu tend vers zkro
pour la valeur z = 0. À prknt nous allons Ctudier le comportement de f(z) au voisinage de
zéro. Pour cela, considérons le dkveloppemcnt tronqub 5 l’ordre n, dc .f(:r) que nous dPsignons
par S,(z) :
On peut encore krirc :
. ,
$S,,(:l:) =
J’
{cas(t) + cos(3t) +. ‘. + cos[(2n, ~ 1)t]} dt:
0
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
238
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Un exemple numérique - On a fabriqué une dent dc scie tout à fait analogue à la première
fonction développée, et il est intéressant de noter le comportements
de l’approximation au
voisinage de la discontinuitk de la dérivée première. On a. tronqué la skie trigonomktriquc à
l’ordre 10.
On trouvera sur le Web (*) le programme echantil . c riialisant la dkmlposition en série de
Fourier de fonctions périodiques connues au moyen d’un écllantillonnage déterminb
selon des
abscisses cn progression arithmétique.
7. Cas où la fonction est discontinue à l’origine
Dans ce cas, la notion de pi:riodicit@ au sens strict ne s’applique plus: ccpcndant, cela ne change
rien à l’analyse prkédemmcnt réalisée; en effet deux solutions pcuvcnt Ctrc apportées à ce
problème :
1. On choisit comme nouvelle origine un point où la fonction est, corkinue ; ainsi il n’y a plus de
discontinuité à l’origine et ce faux prohlèmc
a disparu.
2. On sait très bien obtenir lc développement en série de Fourier des fonctions en dent de scie
présentant une discontinuité à l’origine. Par conséquent 7 il suffit dc r(%ranclicr convenablement
une fonction cn dent dc scie qui annule la discont,inuité. En faisant usa.ge de la. propriété de
linéarité des intégrales, on déduit que le développement en série clc Fourier de deux fonctions
développables est, la somme de chacml des deux développcmcnts ; cc qui rkout, notre prolAkne.
8. Le phénomène de Gibbs (1839-1903) et I’epsilon-algorithme
Il s’agit d’étudier le comportement du développement en série de Fourier de la fonction f(x)
au voisinage d’un point de discontinuité. Nous allons nous intéresser A un cas très classiqur
constitué par la fonction « rectangle » ou fonction «fente » :
(J(“) 1
i
-l si -7T < c c < 0
$-1 si
O
Bien que g(z) tcndc vers fl, lc dCvcloppcment
associk f(z) l
c ui rst continu tend vers zkro
pour la valeur z = 0. À prknt nous allons Ctudier le comportement de f(z) au voisinage de
zéro. Pour cela, considérons le dkveloppemcnt tronqub 5 l’ordre n, dc .f(:r) que nous dPsignons
par S,(z) :
On peut encore krirc :
. ,
$S,,(:l:) =
J’
{cas(t) + cos(3t) +. ‘. + cos[(2n, ~ 1)t]} dt:
0
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
238