15. L ES S ÉRIES DE F OURIER
k sont des entiers appartenant à (0: N) :
k sin(jzl) cos(klrïl) = 0
l=-N+I
F sin(jz,) sin(kzr) = 0 si j # k
I--N+1
2 COS(,jzl) cos(kzr) = 0 si j # k
1=-N t-1
N
N
C sin(kzl) = C cos(kn*~) = N si k # O:N
i=-N+l
I--N+1
N
Compte tenu dc ces relations. on calcule les derivées de l’expression (15.12) par rapport, aux
coeficicnts Ak ct Bk. On obtient alors les relations suivantes :
AN = & F ~(XI) CO~(N~,)
/--N+I
et si k # 0, N
Ak = ;
Bk = ; 2 f(z/) sin(kz,).
I=-N+l
[=-N+I
On reconnaît sans grande difiïculti: les coefficients du d6veloppcment en série dc Fourier
calculés par la méthode des rectangles.
Remarque très importante - Lorsque l’on effectue le calcul numkrique
des coefficients de
Fourier de fonctions périodiques, on est tenté d’utiliser des nkkhodcs offrant, en a.pparencr plus
de précision, telles; par exemple, la méthode des trapèzes ou la mkthodc de Simpson. À bien y
réflkhir, ces méthodes privilégient certains points cn leur affcctantj des poids diffkrents,
mais on
ne doit pas perdre de vue que lc calcul de toutes les intkgrales peut Ctrc réalis sur n’import,c
quel intervalle pourvu qu’il ait la longueur d’une période. Conclusion. nous devons utiliser w1e
m6t,hode qui affecte à chaque point le même poids : il n’y en a qu’une seule, c’est, la méthode
tics rectangles.
On retrouvera rigoureusement le meme procédé lors du calcul des transformkes dc Fourier par
les algorithmes appropriks.
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