MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
6.1. Théorème
Si l’on veut approcher au sens des moindres carres UIIC fonction f(z) définit sur (a, b) par
une skie trigononktriquc et que ccttc S&ic est tronqukc
à l’ordre n, alors les coefficients
du développement trigonométrique sont @aux aux coefficients du d~vc,loI>pr:rncnt
CII shic dc
Fourier.
Bien entendu ce Worèmr est, valable sous réserve que les conditions de validité de développcmcnt en skrie de Fourier soient vérifiées. Autrement dit. le développement en série de Fourier
tronqué & l’ordre n est celui qui. parmi tous les dhcloppcmcnts trigononi~triqucs possibles
trouyués à. l’ordre 71, assure la mcillcurc approximation, au sens des moindres
carrks. d’une
fonction développable en série trigonomktrique.
Nous allons dhontrcr ccttc proposition dans le cas d’m1e fonction éc~lallt,illorlrlée.
Approximation d’une fonction échantillonnée - Considhons une fonction f(z) périodique de
période 227 dont on connaît uniquement 2N+ 1 valeurs yk. pour 2N+ 1 valeurs zk dc la variable.
Les 2N + 1 valeurs de la variable sont réparties en progression aritlmkt,ique sur toute la pkiodc.
soit :
N - 1
-;,0,;,...>
N-l
T T T , NT, . ’
N r
Comrnc f(7r) = f(-7r), seules 2N valeurs ~(XL) sont indépendantes. On a poli6 :
CE, x T1
N
avec 1 = -N + 1: -N + 2:. . , -1,O; +l, . . ~ N.
Nous allons donc approcher f(z) par une expression trigonomktriquc dont la forme la plus
gh6ralc est :
dc telle sorte qu’elle vérifie le critère des moindres carrés. Autrement dit, on désire rendre
l’expression :
E”= 2 ~(XL) - Ao - e[Ak COS(~~) + Bk sin(kz)]
2
(15.12)
l=-N+l
k=l
la plus pctitc possible. On y parvient, CII écrivant que :
dE”
3E2
y&=0
ct
w=o.
Pour obtenir des expressions commodes d’emploi, il faut utiliser 1111 certain nombre de relations
trigonométriques qui s’établissent en se serva.nt de la formule de Moivre (1667 1754) ct de
l’expression de la somme d’une progression géométrique. Voici ces relations dans lesquelles j et
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
6.1. Théorème
Si l’on veut approcher au sens des moindres carres UIIC fonction f(z) définit sur (a, b) par
une skie trigononktriquc et que ccttc S&ic est tronqukc
à l’ordre n, alors les coefficients
du développement trigonométrique sont @aux aux coefficients du d~vc,loI>pr:rncnt
CII shic dc
Fourier.
Bien entendu ce Worèmr est, valable sous réserve que les conditions de validité de développcmcnt en skrie de Fourier soient vérifiées. Autrement dit. le développement en série de Fourier
tronqué & l’ordre n est celui qui. parmi tous les dhcloppcmcnts trigononi~triqucs possibles
trouyués à. l’ordre 71, assure la mcillcurc approximation, au sens des moindres
carrks. d’une
fonction développable en série trigonomktrique.
Nous allons dhontrcr ccttc proposition dans le cas d’m1e fonction éc~lallt,illorlrlée.
Approximation d’une fonction échantillonnée - Considhons une fonction f(z) périodique de
période 227 dont on connaît uniquement 2N+ 1 valeurs yk. pour 2N+ 1 valeurs zk dc la variable.
Les 2N + 1 valeurs de la variable sont réparties en progression aritlmkt,ique sur toute la pkiodc.
soit :
N - 1
-;,0,;,...>
N-l
T T T , NT, . ’
N r
Comrnc f(7r) = f(-7r), seules 2N valeurs ~(XL) sont indépendantes. On a poli6 :
CE, x T1
N
avec 1 = -N + 1: -N + 2:. . , -1,O; +l, . . ~ N.
Nous allons donc approcher f(z) par une expression trigonomktriquc dont la forme la plus
gh6ralc est :
dc telle sorte qu’elle vérifie le critère des moindres carrés. Autrement dit, on désire rendre
l’expression :
E”= 2 ~(XL) - Ao - e[Ak COS(~~) + Bk sin(kz)]
2
(15.12)
l=-N+l
k=l
la plus pctitc possible. On y parvient, CII écrivant que :
dE”
3E2
y&=0
ct
w=o.
Pour obtenir des expressions commodes d’emploi, il faut utiliser 1111 certain nombre de relations
trigonométriques qui s’établissent en se serva.nt de la formule de Moivre (1667 1754) ct de
l’expression de la somme d’une progression géométrique. Voici ces relations dans lesquelles j et
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