15. LE~ SÉRIES DE F OURIER
Les termes correspondant à une valeur de n pair sont nuls, il s’ensuit que :
4
%+l = r(‘$)+ 1)“’
avec p = 0, 1,2, . On trouve no = 7r.
b - Soit la fonction f(z) = 2 - 1/2 si 0 < z < 1.
On obtient le d&Aoppcment suivant :
f(z) ~
i (sin(f7rz)
+ sin(l7rz) +. + sin(Tr)
+ .)
C - Soit la fonction qui vaut 1 sur (0,7r) et -1 sur (+r, 0).
Cette fonction est impaire, donc les uy1 sont nuls. On trouve :
d'où
La dérivke dc cc dkveloppement n’est pas mi dCvcloppement
convergent,, cependant on pourra
l’utiliser quand mêrne pour calculer f’(z) . (cf. 5 8.2 de ce chapitre).
5.6. Note sur le calcul effectif des coefbcients de Fourier
Il n’est pas nécessaire de calculer les coefficients de Fourier au moyen des intfigrales. et il est
plus efficace sur lc plan de la précision des calculs ainsi que du temps d’exécution d’utiliser la
transformée de Fourier numCrique
que l’on abordera au chapitre 16. Donc. il n’est pas utile dr
fournir 1111 programme qui calculerait directement les intégrales.
6. Approximation des fonctions par une série de Fourier tronquée
La première application des skies de Fourier concerne l’approximation d’une fonction f(z).
Lc d~vcloppement alors est limitk à l’ordre 12. La démonstration repose sur le théor~mc
d’approximation de Wcierstrass selon lequel toute fonction continue sur l’intervalle (0; b) peut
etre approchée par un polynôme Pr, (:x) tel que :
quel que soit z appartenant à (a, b). Da.ns cette expression E est 1111 nomlw positif aussi petit
que l’on veut. On trouvera urle démonstration complète dans l’ouvrage dc .J. Bass, COU~S de
Muthémutiques, Tome 1, p. 312, Masson, Paris 1961.
235
Les termes correspondant à une valeur de n pair sont nuls, il s’ensuit que :
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%+l = r(‘$)+ 1)“’
avec p = 0, 1,2, . On trouve no = 7r.
b - Soit la fonction f(z) = 2 - 1/2 si 0 < z < 1.
On obtient le d&Aoppcment suivant :
f(z) ~
i (sin(f7rz)
+ sin(l7rz) +. + sin(Tr)
+ .)
C - Soit la fonction qui vaut 1 sur (0,7r) et -1 sur (+r, 0).
Cette fonction est impaire, donc les uy1 sont nuls. On trouve :
d'où
La dérivke dc cc dkveloppement n’est pas mi dCvcloppement
convergent,, cependant on pourra
l’utiliser quand mêrne pour calculer f’(z) . (cf. 5 8.2 de ce chapitre).
5.6. Note sur le calcul effectif des coefbcients de Fourier
Il n’est pas nécessaire de calculer les coefficients de Fourier au moyen des intfigrales. et il est
plus efficace sur lc plan de la précision des calculs ainsi que du temps d’exécution d’utiliser la
transformée de Fourier numCrique
que l’on abordera au chapitre 16. Donc. il n’est pas utile dr
fournir 1111 programme qui calculerait directement les intégrales.
6. Approximation des fonctions par une série de Fourier tronquée
La première application des skies de Fourier concerne l’approximation d’une fonction f(z).
Lc d~vcloppement alors est limitk à l’ordre 12. La démonstration repose sur le théor~mc
d’approximation de Wcierstrass selon lequel toute fonction continue sur l’intervalle (0; b) peut
etre approchée par un polynôme Pr, (:x) tel que :
quel que soit z appartenant à (a, b). Da.ns cette expression E est 1111 nomlw positif aussi petit
que l’on veut. On trouvera urle démonstration complète dans l’ouvrage dc .J. Bass, COU~S de
Muthémutiques, Tome 1, p. 312, Masson, Paris 1961.
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