MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
5. Quelques propriétés remarquables
5.1. Sur la vitesse de décroissance des coefficients a,, et b,
Si la strie trigonomhtrique est convergente, alors a, ct h,, tcndcnt vers zbro au moins comme
l/n. cependant, la convergence de la série peut Ctrc trks lcntc.
Si la shic trigonomCtriqllr:
est convergente et uniformément çouvergcntc. a,, ct h,, tcndcnt,
vers zéro comme 1/srL”7 f(~ ) -t 1
x eb a 01s çoutinuc partout sur ime ptriode.
R6ciproqucmcnt, si f (x) n’est pas continue, lhn au moins des coefficients tend vers zéro
CoIIIrIl~ 1/71.
5.2. À propos du théorème de Jordan
Si les conditions du théorème de Jordan sont vérifiées, alors la shic dc Fourier est int6grak>lt
terme & terme. À propos de ce théorème, on peut, SC poser la question dc savoir si toutes les
fonctions continues sont développa.bles
eu série de Fourier. La rkponse est, non. En cffct, toutes
les fonctious continues ne sont, pas à varktious bornées ct l'on peut trouver des exemples de
fonctious contimies dont la si:ric trigonométrique associk diverge en un point parce que la
fonction n’est pas à variations borntes.
5.3. Sur la parité des fonctions f(x)
Si f(x) est, une fonction paire, la série trigonométrique associée n’admet yu’uri développement
en cosirms (fonction paire) j les coefhcierits des termes en sinus sontj nuls.
Si f(.~) est ur1c fonction impaire, lc dhcloppcmcnt II~: comprend que des termes en sinus. et
tous les arr sont nuls.
5.4. Dérivabilité d’une série de Fourier
Si a(~) et .f’(~) 1,ossèdrnt, des discoutirmités de premi&e espèce en nombre fiui sur l’intervalle
(0, 27r). et sorit, corit,inues ailleurs, alors f(:Z;) est dhcloppablc cn s6ric dc Fourier. mais la série
convcrgc
lcntcmcut ; l’un des coefficients arr ou h,, tend vers ztro avec l/n et la série dtrivke
ne converge pas. En revanche, si f’(~) et f”( z existent et sont coiitinues sa.uf éverituellement
)
eu un nombre fini de points daus l’intervalle (0, 27r) où il cxistc pour ces deux fonctions des
discontimlith dc prcmikrc C~~~:C:C~, alors, on peut calculer directement UII dheloppement de
.f’(:c) WI skie de Fourier.
Remarque : Deux séries dc Fourier dont les sommes c:oiincidr:nt, sur un intervalle intkrieur à. une
pbriode, nc sont, pas néccssaircmcnt idcntiqucs c’n dehors de cet intervalle.
5.5. Quelques développements traditionnels
a - Soit la fonction paire de période 27r définit ainsi :
f(x) = r-:x’ si
0 S:I: < 7r
f(x) = 5 - 7r
si
~ rr< z < 0.
Comme
.f(.c) est une fonctiori continue et, paire, ou cn tlhluit immkliatement que les
coeffkients b,, sont nills. Il reste à calculer les cc, :
2.x
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DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUE
5. Quelques propriétés remarquables
5.1. Sur la vitesse de décroissance des coefficients a,, et b,
Si la strie trigonomhtrique est convergente, alors a, ct h,, tcndcnt vers zbro au moins comme
l/n. cependant, la convergence de la série peut Ctrc trks lcntc.
Si la shic trigonomCtriqllr:
est convergente et uniformément çouvergcntc. a,, ct h,, tcndcnt,
vers zéro comme 1/srL”7 f(~ ) -t 1
x eb a 01s çoutinuc partout sur ime ptriode.
R6ciproqucmcnt, si f (x) n’est pas continue, lhn au moins des coefficients tend vers zéro
CoIIIrIl~ 1/71.
5.2. À propos du théorème de Jordan
Si les conditions du théorème de Jordan sont vérifiées, alors la shic dc Fourier est int6grak>lt
terme & terme. À propos de ce théorème, on peut, SC poser la question dc savoir si toutes les
fonctions continues sont développa.bles
eu série de Fourier. La rkponse est, non. En cffct, toutes
les fonctious continues ne sont, pas à varktious bornées ct l'on peut trouver des exemples de
fonctious contimies dont la si:ric trigonométrique associk diverge en un point parce que la
fonction n’est pas à variations borntes.
5.3. Sur la parité des fonctions f(x)
Si f(x) est, une fonction paire, la série trigonométrique associée n’admet yu’uri développement
en cosirms (fonction paire) j les coefhcierits des termes en sinus sontj nuls.
Si f(.~) est ur1c fonction impaire, lc dhcloppcmcnt II~: comprend que des termes en sinus. et
tous les arr sont nuls.
5.4. Dérivabilité d’une série de Fourier
Si a(~) et .f’(~) 1,ossèdrnt, des discoutirmités de premi&e espèce en nombre fiui sur l’intervalle
(0, 27r). et sorit, corit,inues ailleurs, alors f(:Z;) est dhcloppablc cn s6ric dc Fourier. mais la série
convcrgc
lcntcmcut ; l’un des coefficients arr ou h,, tend vers ztro avec l/n et la série dtrivke
ne converge pas. En revanche, si f’(~) et f”( z existent et sont coiitinues sa.uf éverituellement
)
eu un nombre fini de points daus l’intervalle (0, 27r) où il cxistc pour ces deux fonctions des
discontimlith dc prcmikrc C~~~:C:C~, alors, on peut calculer directement UII dheloppement de
.f’(:c) WI skie de Fourier.
Remarque : Deux séries dc Fourier dont les sommes c:oiincidr:nt, sur un intervalle intkrieur à. une
pbriode, nc sont, pas néccssaircmcnt idcntiqucs c’n dehors de cet intervalle.
5.5. Quelques développements traditionnels
a - Soit la fonction paire de période 27r définit ainsi :
f(x) = r-:x’ si
0 S:I: < 7r
f(x) = 5 - 7r
si
~ rr< z < 0.
Comme
.f(.c) est une fonctiori continue et, paire, ou cn tlhluit immkliatement que les
coeffkients b,, sont nills. Il reste à calculer les cc, :
2.x
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