15. LES SÉRIES DE ForrRrER
et, corllrrle
ceci explique l’origine du çoeflicicnt ao/2 : tous les ah. sont calculk au moyen dc la mkrle formule.
DC la même façon, multiplions les deux membres
de la relation (15.9) par sin( Icx): puis
intégrons sur une période ; cn tenant compte des relations d’orthogonalite, on obtient :
(15.11)
4. Conditions d’égalité de f(x) et de la série de Fourier associée
On admettra sans di:monstration les théorèmes siiivants :
4.1. Théorème I
Si f(z) est une fonction periodiquc dc pikiode 2~r, continue et pourvut d’une dérivée prcnii?rc
continue f’(z). sauf eventuellement en un nombre fini de points sur une période et, qui sont alors
des points de discontinuit6 dc première espèce pour f(z) et f’(z), 1 a série trigonorri~t,riqiic
(15.7)
est, convergente pour tout n: et a pour somme f(z) dans le cas dc la continuité et [,f(z + 0) +
f(z - O)I/L dans le ca.~ de la discontjinuitjP
(convergence simple).
4.2. Théorème II
Le théor+me 1 est conservé si f(z) est à variations bornees sur un intcrvallc dc pkriode 25~.
Définition d’une fonction à variations bornées - Soit f(z) une fonction d&iic sur mi
intervalle (n: h). On divise (a, b) en n sous-intervalles partiels au moyen de (n ~ 1) points t,els
qw :
a < ICI < 52 < 5y < ‘. . < Lcn-l < b,
soit, S la somme définie par :
Si, quelle que soit la décomposition de (u? b), la somme S,, rcstc infbricurc a 1111 nombre M
fini, on dit que la fonction f(z) es ,
.t à variations hornks sur (Ut h).
4.3. Théorème III
Appcle thi:or?rnc dc Jordan (1838-1922). Si f(z) est p ériodique de periodr: 27r. et à variations
bornées sur tout intervalle fini, alors sa série de Fourier est convergente et uniformément
convergente clans tout intcrvallc où f(.z) est continue.
233
et, corllrrle
ceci explique l’origine du çoeflicicnt ao/2 : tous les ah. sont calculk au moyen dc la mkrle formule.
DC la même façon, multiplions les deux membres
de la relation (15.9) par sin( Icx): puis
intégrons sur une période ; cn tenant compte des relations d’orthogonalite, on obtient :
(15.11)
4. Conditions d’égalité de f(x) et de la série de Fourier associée
On admettra sans di:monstration les théorèmes siiivants :
4.1. Théorème I
Si f(z) est une fonction periodiquc dc pikiode 2~r, continue et pourvut d’une dérivée prcnii?rc
continue f’(z). sauf eventuellement en un nombre fini de points sur une période et, qui sont alors
des points de discontinuit6 dc première espèce pour f(z) et f’(z), 1 a série trigonorri~t,riqiic
(15.7)
est, convergente pour tout n: et a pour somme f(z) dans le cas dc la continuité et [,f(z + 0) +
f(z - O)I/L dans le ca.~ de la discontjinuitjP
(convergence simple).
4.2. Théorème II
Le théor+me 1 est conservé si f(z) est à variations bornees sur un intcrvallc dc pkriode 25~.
Définition d’une fonction à variations bornées - Soit f(z) une fonction d&iic sur mi
intervalle (n: h). On divise (a, b) en n sous-intervalles partiels au moyen de (n ~ 1) points t,els
qw :
a < ICI < 52 < 5y < ‘. . < Lcn-l < b,
soit, S la somme définie par :
Si, quelle que soit la décomposition de (u? b), la somme S,, rcstc infbricurc a 1111 nombre M
fini, on dit que la fonction f(z) es ,
.t à variations hornks sur (Ut h).
4.3. Théorème III
Appcle thi:or?rnc dc Jordan (1838-1922). Si f(z) est p ériodique de periodr: 27r. et à variations
bornées sur tout intervalle fini, alors sa série de Fourier est convergente et uniformément
convergente clans tout intcrvallc où f(.z) est continue.
233