1. GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL NUMÉRIQUE
Comme
1
1
n(n + 1) - n
~~
(ni 1)’
on voit que la somme partielle limitée au me terme s’écrit :
STn=l- (m;l).
En effectuant un passage à la limite quand m devient infini, on en conclut que la limite de
la série est égale à 1. Ce n’est pas l’examen mathématique de cette série qui va retenir notre
attention, mais uniquement le calcul numérique effectif ainsi que l’erreur qui en résulte.
Quand on limite la somme aux m premiers termes, on peut majorer l’erreur de troncature de
cette série, c’est une erreur mathématique qui est majorée par le premier terme abandonné de
la série convergente alternée :
e --.
m- (mkl)
À présent supposons que les calculs soient réalisés sur une machine qui travaille avec des
nombres représentés sur 5 octets. Chaque étape du calcul introduit une erreur de l’ordre de
(cf. 09) :
f& = 10-9J32.
Comme il n’y a pas d’erreur sur les multiplications (pas de troncature), seules sont prises
en compte les erreurs sur les inversions et sur les additions : soient au total 2m opérations
susceptibles d’apporter une contribution à ce que nous appellerons l’erreur globale J!&. On peut
majorer Eg :
E, = 2me,.
Nous donnons ci-dessous un tableau (Tab. 1.1) où sont portés m, S,, l’erreur globale, l’erreur
statistique et 1 ~ S - & .
/ 1 - S - & 1 est un terme qui représente les erreurs cumulées au cours des opérations réalisées
en machine, ce terme est désigné par erreur réelle dans le tableau. Nous avons choisi de faire
varier m de 10 000 en 10 000 jusqu’à 50 000, puis de passer à la valeur 100 000.
Tableau 1.1.
m
S
err. globa. 108
err. stat. 106
err. réelle 106
10 000
0,999 900
0,931
0,475
0,329
20 000
0,999 950
1,86
0,672
0,440
30 000
0,999 967
2,79
0,822
0,255
40 000
0,999 975
3,72
0,950
2,88
50 000
0,999 980
4,66
1,06
2,30
100 000
0,999 991
9,31
1,502
77,0
Il est facile de constater que les erreurs globales Eg majorées a priori ne représentent pas
du tout la réalité, et pour m = 50000, Eg est environ 500 fois trop grand. On en conclut que
cette manière de concevoir les erreurs n’apporte rien et surtout n’est pas réaliste. Il est bien
préférable de raisonner en termes de probabilité. Du reste, la probabilité pour que l’erreur soit
effectivement égale à Eg est pratiquement nulle.
25
Comme
1
1
n(n + 1) - n
~~
(ni 1)’
on voit que la somme partielle limitée au me terme s’écrit :
STn=l- (m;l).
En effectuant un passage à la limite quand m devient infini, on en conclut que la limite de
la série est égale à 1. Ce n’est pas l’examen mathématique de cette série qui va retenir notre
attention, mais uniquement le calcul numérique effectif ainsi que l’erreur qui en résulte.
Quand on limite la somme aux m premiers termes, on peut majorer l’erreur de troncature de
cette série, c’est une erreur mathématique qui est majorée par le premier terme abandonné de
la série convergente alternée :
e --.
m- (mkl)
À présent supposons que les calculs soient réalisés sur une machine qui travaille avec des
nombres représentés sur 5 octets. Chaque étape du calcul introduit une erreur de l’ordre de
(cf. 09) :
f& = 10-9J32.
Comme il n’y a pas d’erreur sur les multiplications (pas de troncature), seules sont prises
en compte les erreurs sur les inversions et sur les additions : soient au total 2m opérations
susceptibles d’apporter une contribution à ce que nous appellerons l’erreur globale J!&. On peut
majorer Eg :
E, = 2me,.
Nous donnons ci-dessous un tableau (Tab. 1.1) où sont portés m, S,, l’erreur globale, l’erreur
statistique et 1 ~ S - & .
/ 1 - S - & 1 est un terme qui représente les erreurs cumulées au cours des opérations réalisées
en machine, ce terme est désigné par erreur réelle dans le tableau. Nous avons choisi de faire
varier m de 10 000 en 10 000 jusqu’à 50 000, puis de passer à la valeur 100 000.
Tableau 1.1.
m
S
err. globa. 108
err. stat. 106
err. réelle 106
10 000
0,999 900
0,931
0,475
0,329
20 000
0,999 950
1,86
0,672
0,440
30 000
0,999 967
2,79
0,822
0,255
40 000
0,999 975
3,72
0,950
2,88
50 000
0,999 980
4,66
1,06
2,30
100 000
0,999 991
9,31
1,502
77,0
Il est facile de constater que les erreurs globales Eg majorées a priori ne représentent pas
du tout la réalité, et pour m = 50000, Eg est environ 500 fois trop grand. On en conclut que
cette manière de concevoir les erreurs n’apporte rien et surtout n’est pas réaliste. Il est bien
préférable de raisonner en termes de probabilité. Du reste, la probabilité pour que l’erreur soit
effectivement égale à Eg est pratiquement nulle.
25