MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
8. Réexamen des erreurs du point de vue statistique
Supposons que l’on utilise une machine qui travaille sur des mantisses de n chiffres significatifs.
On va alors raisonner sur la valeur absolue de la mantisse considérée comme un nombre entier.
Faisons l’hypothèse que l’erreur de troncature puisse être considérée comme une variable
aléatoire continue que l’on désigne par X à valeur sur (0,l).
8.1. Cas où la distribution des X peut être considérée comme rectangulaire
On peut aisément calculer les caractéristiques de la variable aléatoire X. On calcule d’abord la
moyenne :
s
1
m = (X) =
XdX = 0,5;
0
puis l’écart quadratique moyen 0’ :
o2 = s
I(X - m)2dX = 0,083 3,
0
d’où l’on tire o = 0,288 7.
À chaque opération, on peut associer à l’erreur une variable aléatoire X. S’il y a N opérations
dans la procédure globale et si l’on suppose que les erreurs sont indépendantes, l’erreur totale
sera la variable aléatoire :
Y=&.
3=1
D’après le théorème central limite, Y est une variable aléatoire gaussienne de moyenne m et
d’écart quadratique moyen CT :
CT; = Na2
ce qui donne en définitive une mesure de l’erreur donnée par l’écart type :
cy = 0,288 74%.
fly constitue en général une bonne estimation de l’erreur et nous rappelons à ce sujet que la
probabilité pour que l’erreur soit inférieure en module à gy est 68%, à 2a, est 95% et à 3a, est
99,7%.
En réalité la variable aléatoire X” prend ses valeurs sur l’intervalle (0, 0,5) puisque la machine
effectue non pas des troncatures mais des arrondis, ce qui divise chaque erreur élémentaire par
2. Il s’ensuit que : m = (X) = 0,25, g2 = 1,042 10P2, soit CT = 0,102, et cy = 0,102fi.
8.2. Cas où X n’est plus à distribution rectangulaire
Reprenons l’exemple précédent et cherchons à calculer la somme de la série « à la précision de la
machine », c’est-à-dire que l’on va arrêter les calculs lorsque S,/(n + l)/(n + 2) sera plus grand
que 10g932 si l’on dispose de 4 octets pour représenter la mantisse.
À partir d’un certain rang K < n, la division va introduire une erreur systématique qui va
garder le même sens très longtemps. La distribution ne sera plus du tout rectangulaire et les
estimations effectuées au moyen des erreurs gaussiennes deviennent caduques.
Grosso modo, la précision optimum est obtenue pour une valeur de n voisine de 100000
que nous avons portée dans le tableau. On voit très bien que, pour ce type de problèmes, les
grandeurs statistiques ne sont plus des estimateurs acceptables de l’erreur, cependant elles le
demeurent pour n allant jusqu’à 50 000 environ.
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CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
8. Réexamen des erreurs du point de vue statistique
Supposons que l’on utilise une machine qui travaille sur des mantisses de n chiffres significatifs.
On va alors raisonner sur la valeur absolue de la mantisse considérée comme un nombre entier.
Faisons l’hypothèse que l’erreur de troncature puisse être considérée comme une variable
aléatoire continue que l’on désigne par X à valeur sur (0,l).
8.1. Cas où la distribution des X peut être considérée comme rectangulaire
On peut aisément calculer les caractéristiques de la variable aléatoire X. On calcule d’abord la
moyenne :
s
1
m = (X) =
XdX = 0,5;
0
puis l’écart quadratique moyen 0’ :
o2 = s
I(X - m)2dX = 0,083 3,
0
d’où l’on tire o = 0,288 7.
À chaque opération, on peut associer à l’erreur une variable aléatoire X. S’il y a N opérations
dans la procédure globale et si l’on suppose que les erreurs sont indépendantes, l’erreur totale
sera la variable aléatoire :
Y=&.
3=1
D’après le théorème central limite, Y est une variable aléatoire gaussienne de moyenne m et
d’écart quadratique moyen CT :
CT; = Na2
ce qui donne en définitive une mesure de l’erreur donnée par l’écart type :
cy = 0,288 74%.
fly constitue en général une bonne estimation de l’erreur et nous rappelons à ce sujet que la
probabilité pour que l’erreur soit inférieure en module à gy est 68%, à 2a, est 95% et à 3a, est
99,7%.
En réalité la variable aléatoire X” prend ses valeurs sur l’intervalle (0, 0,5) puisque la machine
effectue non pas des troncatures mais des arrondis, ce qui divise chaque erreur élémentaire par
2. Il s’ensuit que : m = (X) = 0,25, g2 = 1,042 10P2, soit CT = 0,102, et cy = 0,102fi.
8.2. Cas où X n’est plus à distribution rectangulaire
Reprenons l’exemple précédent et cherchons à calculer la somme de la série « à la précision de la
machine », c’est-à-dire que l’on va arrêter les calculs lorsque S,/(n + l)/(n + 2) sera plus grand
que 10g932 si l’on dispose de 4 octets pour représenter la mantisse.
À partir d’un certain rang K < n, la division va introduire une erreur systématique qui va
garder le même sens très longtemps. La distribution ne sera plus du tout rectangulaire et les
estimations effectuées au moyen des erreurs gaussiennes deviennent caduques.
Grosso modo, la précision optimum est obtenue pour une valeur de n voisine de 100000
que nous avons portée dans le tableau. On voit très bien que, pour ce type de problèmes, les
grandeurs statistiques ne sont plus des estimateurs acceptables de l’erreur, cependant elles le
demeurent pour n allant jusqu’à 50 000 environ.
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