MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si la série avait divergé plus rapidement, nous aurions pu être alerté par un dépassement
de capacité qui aurait arrêté l’exécution des calculs c’est-à-dire qu’à partir d’un certain rang la
somme partielle aurait dépassé le plus grand nombre représentable en machine, malheureusement
il n’en a rien été. Ces considérations sur les séries attirent deux autres remarques :
1. Un dépassement de capacité signalé ne signifie pas obligatoirement que l’algorithme utilisé
est divergent, mais tout simplement qu’au cours du calcul la somme partielle s’est montrée
supérieure au plus grand nombre représentable. Il est facile de donner un tel exemple en
considérant le développement de exp(z) :
x2 x3
exp(x) = z + 2 + 3 +. . . + 5 +. .
Utilisons ce développement toujours convergent (rayon de convergence infini) pour calculer
exp(-1000). Nous savons que cette valeur est très petite, mais bien que le développement
de exp(x) soit absolument convergent le calcul de la série alternée va poser des problèmes
quasiment insurmontables. Grosso modo la somme partielle va croître jusqu’à ce que n!
l’emporte sur xn, donc lorsque 1000” N n!. En passant aux logarithmes puis en faisant
usage de la formule de Stirling log,(n!) = nlog,(n) - n, on aboutit au résultat suivant :
72 10g,(1000) = R log,(n) - n,
d’où
log, 12 =
(
)
1.
1000
On obtient n, en écrivant que n/l 000 = e (e est la base des logarithmes népériens). Soit n =
2 718. Il n’est peut-être pas inutile d’insister sur la taille immense des nombres intermédiaires
qui doivent être calculés (2 718! - 10s154) et qui dépasse de très loin la capacité des motsmémoire les plus optimistes. Cet exemple montre à l’évidence que les fonctions de bibliothèque
ne sont certainement pas calculées au moyen de développements de ce type. Nous avons
consacré les annexes C, D, E, à la technique de calcul des fonctions de bibliothèque.
2. Le calcul numérique n’exclut pas de ses méthodes l’usage de certaines séries divergentes
(encore appelées séries semi-convergentes) : on verra des applications lors de l’étude des développements asymptotiques et lors de l’étude de l’epsilon-algorithme appliqué aux fonctions
admettant un prolongement analytique (chapitre 2).
Revenons un instant sur les séries lentement convergentes; elles constituent un piège redoutable car rien ne permet de se défier du résultat si ce n’est justement un calcul d’erreur.
Nous pensons plus particulièrement aux séries de Fourier (1768-1830) lorsque les coefficients
décroissent comme l/n. Dans ce domaine, rien n’est simple car la majoration abusive des erreurs
conduit tout aussi inévitablement à pénaliser voire à rejeter des résultats qui pourraient être
acceptables.
Un exemple de calcul d’erreur sur la somme d’une série convergente - Dans le simple but
de supprimer les cadrages des nombres intermédiaires, et donc de raisonner plus facilement sur
les erreurs absolues, nous allons examiner en détail le calcul d’une série banale et connue dont
la somme vaut l’unité, soit :
&‘+&+i+L+...+
1
1x2
3x4
4x5
n x (n+l)
+...
24
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Si la série avait divergé plus rapidement, nous aurions pu être alerté par un dépassement
de capacité qui aurait arrêté l’exécution des calculs c’est-à-dire qu’à partir d’un certain rang la
somme partielle aurait dépassé le plus grand nombre représentable en machine, malheureusement
il n’en a rien été. Ces considérations sur les séries attirent deux autres remarques :
1. Un dépassement de capacité signalé ne signifie pas obligatoirement que l’algorithme utilisé
est divergent, mais tout simplement qu’au cours du calcul la somme partielle s’est montrée
supérieure au plus grand nombre représentable. Il est facile de donner un tel exemple en
considérant le développement de exp(z) :
x2 x3
exp(x) = z + 2 + 3 +. . . + 5 +. .
Utilisons ce développement toujours convergent (rayon de convergence infini) pour calculer
exp(-1000). Nous savons que cette valeur est très petite, mais bien que le développement
de exp(x) soit absolument convergent le calcul de la série alternée va poser des problèmes
quasiment insurmontables. Grosso modo la somme partielle va croître jusqu’à ce que n!
l’emporte sur xn, donc lorsque 1000” N n!. En passant aux logarithmes puis en faisant
usage de la formule de Stirling log,(n!) = nlog,(n) - n, on aboutit au résultat suivant :
72 10g,(1000) = R log,(n) - n,
d’où
log, 12 =
(
)
1.
1000
On obtient n, en écrivant que n/l 000 = e (e est la base des logarithmes népériens). Soit n =
2 718. Il n’est peut-être pas inutile d’insister sur la taille immense des nombres intermédiaires
qui doivent être calculés (2 718! - 10s154) et qui dépasse de très loin la capacité des motsmémoire les plus optimistes. Cet exemple montre à l’évidence que les fonctions de bibliothèque
ne sont certainement pas calculées au moyen de développements de ce type. Nous avons
consacré les annexes C, D, E, à la technique de calcul des fonctions de bibliothèque.
2. Le calcul numérique n’exclut pas de ses méthodes l’usage de certaines séries divergentes
(encore appelées séries semi-convergentes) : on verra des applications lors de l’étude des développements asymptotiques et lors de l’étude de l’epsilon-algorithme appliqué aux fonctions
admettant un prolongement analytique (chapitre 2).
Revenons un instant sur les séries lentement convergentes; elles constituent un piège redoutable car rien ne permet de se défier du résultat si ce n’est justement un calcul d’erreur.
Nous pensons plus particulièrement aux séries de Fourier (1768-1830) lorsque les coefficients
décroissent comme l/n. Dans ce domaine, rien n’est simple car la majoration abusive des erreurs
conduit tout aussi inévitablement à pénaliser voire à rejeter des résultats qui pourraient être
acceptables.
Un exemple de calcul d’erreur sur la somme d’une série convergente - Dans le simple but
de supprimer les cadrages des nombres intermédiaires, et donc de raisonner plus facilement sur
les erreurs absolues, nous allons examiner en détail le calcul d’une série banale et connue dont
la somme vaut l’unité, soit :
&‘+&+i+L+...+
1
1x2
3x4
4x5
n x (n+l)
+...
24