1. GÉNÉRALITÉSSUR
LE CALCUL NUMÉRIQUE
On obtient :
N = ao(a0 + 2eh),
expression
dans laquelle es est remplacée par eh qui en est une approximation. On déduit :
4 = (N/~O -a~)/%
soit encore :
a1 = a0 + eh = (N/u0 + ao)/2.
La somme ao + eh constitue une meilleure approximation que ao sous réserve toutefois que
le développement
soit convergent. Dans ce dernier cas, rien ne nous empêche de recommencer
les calculs avec la dernière approximation évaluée ur (itération), et ceci jusqu’à ce que l’on ait
obtenu le meilleur résultat que la précision de la machine puisse permettre d’obtenir. De toute
façon, il faudra choisir un critère tel que le nombre d’itérations soit fini, encore faut-il que la
suite de nombres générée soit convergente.
Pour s’assurer de cette convergence, il faut et il suffit que :
Donc pour débuter les itérations on peut prendre uo = N par exemple. L’erreur sur le calcul
dépend de la limite de l’erreur mathématique ej qui ne tend pas vers zéro du point de vue
numérique.
e0, admet une limite non nulle e, parce que nous avons affaire à des erreurs de
troncature.
Cela conditionne la précision de la valeur finale, mais cela peut avoir pour effet de
donner une suite (ak) qui, lorsque k est grand, fournit alternativement deux valeurs limites. Nous
aurons l’occasion d’examiner plus en détail ce problème en étudiant les racines des équations.
Dans cette classe de problèmes où les erreurs ne sont pas cumulées dès le début de l’algorithme,
on peut intégrer d’autres types d’algorithmes qui relèvent de la même analyse parmi lesquels on
peut citer la dichotomie (cf. chapitre 4).
7.2. Les calculs cumulatifs
Il s’agit de calculs dont le résultat dépend de tout l’ensemble des calculs intermédiaires. Les
exemples les plus immédiats concernent la somme d’une série numérique ou encore le calcul d’une
intégrale. Le résultat définitif dépend évidemment, toujours du point de vue de la précision, du
nombre de termes calculés et du nombre de chiffres significatifs dont la machine dispose. À cet
égard, une méfiance toute particulière doit être manifestée lorsque l’on traite des séries lentement
convergentes
ou lentement divergentes, car il est possible d’obtenir à peu près n’importe quoi,
l’erreur pouvant devenir quasiment infinie. L’exemple le plus connu qui illustre parfaitement ces
propos repose sur la série harmonique qui est très lentement divergente.
Le calcul effectif de la série divergente ~~=rl/n donne toujours un résultat fini en faisant
usage des machines usuelles, car la somme partielle S, obtenue par sommation des p premiers
termes qui apportent effectivement une contribution à la somme est toujours très inférieure à
la taille du plus grand nombre représentable dans lesdites machines. Pour fixer les idées, si la
précision relative fournie par la machine est 10- lr, le nombre p sera obtenu lorsque :
l/(p - l)/S, < 10-“.
Autrement
dit le terme (p + 1) ne peut plus modifier la somme partielle déjà calculée, il en
sera de même des termes suivants qui sont encore plus petits.
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LE CALCUL NUMÉRIQUE
On obtient :
N = ao(a0 + 2eh),
expression
dans laquelle es est remplacée par eh qui en est une approximation. On déduit :
4 = (N/~O -a~)/%
soit encore :
a1 = a0 + eh = (N/u0 + ao)/2.
La somme ao + eh constitue une meilleure approximation que ao sous réserve toutefois que
le développement
soit convergent. Dans ce dernier cas, rien ne nous empêche de recommencer
les calculs avec la dernière approximation évaluée ur (itération), et ceci jusqu’à ce que l’on ait
obtenu le meilleur résultat que la précision de la machine puisse permettre d’obtenir. De toute
façon, il faudra choisir un critère tel que le nombre d’itérations soit fini, encore faut-il que la
suite de nombres générée soit convergente.
Pour s’assurer de cette convergence, il faut et il suffit que :
Donc pour débuter les itérations on peut prendre uo = N par exemple. L’erreur sur le calcul
dépend de la limite de l’erreur mathématique ej qui ne tend pas vers zéro du point de vue
numérique.
e0, admet une limite non nulle e, parce que nous avons affaire à des erreurs de
troncature.
Cela conditionne la précision de la valeur finale, mais cela peut avoir pour effet de
donner une suite (ak) qui, lorsque k est grand, fournit alternativement deux valeurs limites. Nous
aurons l’occasion d’examiner plus en détail ce problème en étudiant les racines des équations.
Dans cette classe de problèmes où les erreurs ne sont pas cumulées dès le début de l’algorithme,
on peut intégrer d’autres types d’algorithmes qui relèvent de la même analyse parmi lesquels on
peut citer la dichotomie (cf. chapitre 4).
7.2. Les calculs cumulatifs
Il s’agit de calculs dont le résultat dépend de tout l’ensemble des calculs intermédiaires. Les
exemples les plus immédiats concernent la somme d’une série numérique ou encore le calcul d’une
intégrale. Le résultat définitif dépend évidemment, toujours du point de vue de la précision, du
nombre de termes calculés et du nombre de chiffres significatifs dont la machine dispose. À cet
égard, une méfiance toute particulière doit être manifestée lorsque l’on traite des séries lentement
convergentes
ou lentement divergentes, car il est possible d’obtenir à peu près n’importe quoi,
l’erreur pouvant devenir quasiment infinie. L’exemple le plus connu qui illustre parfaitement ces
propos repose sur la série harmonique qui est très lentement divergente.
Le calcul effectif de la série divergente ~~=rl/n donne toujours un résultat fini en faisant
usage des machines usuelles, car la somme partielle S, obtenue par sommation des p premiers
termes qui apportent effectivement une contribution à la somme est toujours très inférieure à
la taille du plus grand nombre représentable dans lesdites machines. Pour fixer les idées, si la
précision relative fournie par la machine est 10- lr, le nombre p sera obtenu lorsque :
l/(p - l)/S, < 10-“.
Autrement
dit le terme (p + 1) ne peut plus modifier la somme partielle déjà calculée, il en
sera de même des termes suivants qui sont encore plus petits.
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