15.
L ES
S ÉRIES
T)E F OURIER
Il nc reste plus qu’3 déterminer le coefficient B: et, cn toute rigueur, B dépend de 11, . Compte
tenu de la linkarité de 1’6quation (15.1); la solution la plus génbrale doit donc s’krire :
On remarque qu’à l’instant t = 0 : 0(.z. 0) ~ TO = T, ~ TO = T: pour 0 < .ç < i l > donc :
(15.6)
Multiplions les deux membres dc (15.6) par sin (y:~) ,tj
c intégrons de 0 à h. On olkient~ :
]Tisin (yz) dz = B,, [siIL’ (yz) dz
0
à cause de l’orthogonalité des fonctions sinus (voir le prochain paragraphcl). Le rncml)rr~ tic
gauche est diffkent de zCro quand 71 est impair soit n = 2p + 1, quant, au membre d<, droite, il
vaut h,/2. On déduit donc la solution gérkale :
e(x, t) ~ TO = 4: 2 ij&y siri [(2p + l)i.c] exp [-i,iy, + ,,?,i,i
(15.7)
7r=l
D’une façon plus générale, si au temps t < 0, la condition da.ns Ic mur s’Ccrit F(z) pour 2
compris entre 0 et h, alors la condition (15.6) prend la forme :
F(z) = F B,, sin (7~) .
(15.8)
rt-1
La somme est le développernent de F(z) en série de sinus, les proIn%%% dr paritk ou de
symétrie ayant annulé les coefficients des termes en cosinus.
En définitive, la solution spatiale est donnée pa,r lc dkvcloppemcnt de la condition initiale
dans le mur (ici, c’est la fonction «fen%re » qui est une constante dans un intervalle fini et, qui
est, nulle ailleurs).
2. Orthogonalité des fonctions sinus et cosinus sur une période
Il s’agit dc calculer les expressions suivantes :
27T
K =
J
sin(rLz) sin(rrlz) dz
I l
2T
L =
J
sin(,/ls) cos(7rm) dz:
0
277
M =
J cos(nz) cos(m2) dz.
0
231