MANUEL DE CALCUL
NUMEIUQUE APPLIQUÉ
Comme
lc premier membre dc (15.2) est constitué d’une fonction nc dépendant que de z et,
comme le second membre est constitué d’une fonction nc dépendant que de t: leur intersection
commune ne peut &tre égale qu’à une constante que l’ori désigne par -k?. Comme on va lc voir
le signe moins résulte du fait physique que la tempbrature ne peut pas croître indéfiniment de
fqon spontanke. On obtient alors les kquations :
X”(X) + k”X(z) = 0,
(15.3)
T’(t) + k2T(t) = 0.
(15.4)
Maintenant, pour déterminer compktement la solution il est, nkessaire dc faire intervenir les
conditions init,iales et aux limites.
Au temps t < 0, T = T, pour 0 < z 5 h et T = TO partout hors du mur.
Au temps t = 0, on a T = TO sur les parois du mur c’est-à-dire pour z = 0 et z = h. Les
solutions des kquations (15.3) et (15.4) s’écrivent :
T(t) = A’exp(-kDt)
X(x) = B’cos(kz) + C’sin(kz),
A’: B’ ct C’ ktant des constantes d’inGgration. Une solution de (15.1) s’krit :
/3( : 1*; t) = [A COS(~;~) + B sin(kz)] exp(-k2Dt),
(15.5)
expression dans layuclle A et B sont des constantes, ce sont des combinaisons linéaires des autres
constantes A’. B’ ct C’. Il reste à appliquer les conditions aux limites ct les condit,ions
initiales :
O(0, t > 0) = Q(O> 0) = r,, = A:
6’(h,t > 0) = H(h,O) = TO = Acos + Bsin(kh)
Pour simplifier les équations, on peut rkaliser un changement d’origine des tcmpérakures
et
poser :
TO est la nouvelle référence, et l’on obtient :
A=0
0 = B sin(kh)
La solution non triviale impose :
kh,=n?r
avec n-0,1,2,3 . . . .
7l
dor1c k = 7-lh
avec ,n = 0, 1,2,3, . ,
et l’expression (15.5) s’krit alors :
Q(~C, t) - TO = L3 sin (7x) exp [- (y)ZDi]
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