15 (L es séries de Fourier
Les séries de Fourier jouent 1111 rôle important en calcul numériquc~ et OII les retrouve lors des
problèmes
d’approximation des fonctions, dc lissage; d’interpolation ct aussi dans les problèmes
de filtrage numérique. En toute rigueur le calcul pratique des séries dc Fourier n’est pas a
dissocier du calcul des transformées de Fourier, et nous aborderons l‘étude du trPs puissant
algorithme de Cooley-Tukey. On se bornera donc ici à etudier les fonctions pcriodiques dc
periode 25r puisqu’un changement lineaire de variable permet toujours de se ramener a cc cas.
Ccpcndant on pourrait tout aussi bien s’int&esser aux fonctions pcriodiques de pbriode 2: c’est)a-dire dans l’intervalle (-1, +l), dans la mesure où l’on souhaiterait ctudier en mbme temps les
devcloppernents en série de Tchebycheff.
Au cours de cc chapitre, on se contentera de rappeler 1111 certain nornhre de theor?mcs
fondamentaux dont on omettra la démonstration.
1. Petit apercu historique
L’origine des séries de Fourier remonte à 1822 quand est paru l’ouvrage de Jean-Bapt,iste-Joseph
Fourier (1768 1830) sous le t,itre « Théorie Analytique de la Chaleur ». C’est en résolvant « lc
problème du mur » en regime transitoire que Fourier a fourni une expression formelle constituée
d’une somme trigonométrique infinie. Il est intéressant de rapprlcr ici les grandes lignes de cc
problème ainsi que sa solution. On recherche donc la solution de l’équation de la chaleur dans
un milieu homogène et isotrope constitué par un mur indéfini d’epaisstur h. On designe par D
lc coelhcient dc diffusion thermique dans lc milieu, par Q la température, par J: la seule variable
spatiale et par t la variable temporelle. Il convient alors de rcsoudre l’équation :
d”8
1 ae
-=--.
d2J2
D dt
(15.1)
Posons H(z.t) = X(z) . T(t) fi 1, h, > h
a n c e rec erc cr les solutions sous la forme dc produits dc
Laplace. Nous obtenons :
D~“(Z) T(t) = X(z) T’(t)
d’où l’on tire :
,X”(X) ~ T’(t)
~_~.
X(x)
T(t)
(15.2)
Les séries de Fourier jouent 1111 rôle important en calcul numériquc~ et OII les retrouve lors des
problèmes
d’approximation des fonctions, dc lissage; d’interpolation ct aussi dans les problèmes
de filtrage numérique. En toute rigueur le calcul pratique des séries dc Fourier n’est pas a
dissocier du calcul des transformées de Fourier, et nous aborderons l‘étude du trPs puissant
algorithme de Cooley-Tukey. On se bornera donc ici à etudier les fonctions pcriodiques dc
periode 25r puisqu’un changement lineaire de variable permet toujours de se ramener a cc cas.
Ccpcndant on pourrait tout aussi bien s’int&esser aux fonctions pcriodiques de pbriode 2: c’est)a-dire dans l’intervalle (-1, +l), dans la mesure où l’on souhaiterait ctudier en mbme temps les
devcloppernents en série de Tchebycheff.
Au cours de cc chapitre, on se contentera de rappeler 1111 certain nornhre de theor?mcs
fondamentaux dont on omettra la démonstration.
1. Petit apercu historique
L’origine des séries de Fourier remonte à 1822 quand est paru l’ouvrage de Jean-Bapt,iste-Joseph
Fourier (1768 1830) sous le t,itre « Théorie Analytique de la Chaleur ». C’est en résolvant « lc
problème du mur » en regime transitoire que Fourier a fourni une expression formelle constituée
d’une somme trigonométrique infinie. Il est intéressant de rapprlcr ici les grandes lignes de cc
problème ainsi que sa solution. On recherche donc la solution de l’équation de la chaleur dans
un milieu homogène et isotrope constitué par un mur indéfini d’epaisstur h. On designe par D
lc coelhcient dc diffusion thermique dans lc milieu, par Q la température, par J: la seule variable
spatiale et par t la variable temporelle. Il convient alors de rcsoudre l’équation :
d”8
1 ae
-=--.
d2J2
D dt
(15.1)
Posons H(z.t) = X(z) . T(t) fi 1, h, > h
a n c e rec erc cr les solutions sous la forme dc produits dc
Laplace. Nous obtenons :
D~“(Z) T(t) = X(z) T’(t)
d’où l’on tire :
,X”(X) ~ T’(t)
~_~.
X(x)
T(t)
(15.2)