5.4. Application : Refroidissement d’une plaque homogène
Une plaque homogène cl’6paissr:ur / = 10 cm est, portbe n la tcmpk;tt,urr uniforme 8,) = 90 “C. Au
temps t = 0. elle est plong6c dans un réservoir tl’e;ru à la température 01 = 10 “C suffisan~mrnt~
grand et lkri agit,6 pour que l’on puisse adnwt,tre que l’éncrgic cklée par la plqur: ne change
pas de faqon notalde la. températurc du réservoir. On SC propose de d6tc:rminer
la. tempPrat~ure
?i l’intbricwr de la plaque cn fonction de la tlistancc~ : 1: et du temps t (on notera la. sym6trie du
problème). LR plaque est en cuivre tlont le coefficient dc diffusion est D = 1.12 cn?s- ‘. Al1
bout dc combien de temps pouvons-nous atlmcttrr que la. t,empkdure est, à. nouveau uniforinc
dans la plaque, c’est-Mire lorsque la tc~mptraturc
la plus @lev+e nc tlbpa,sse que dc 0.1 “C la
tcmptrature du tlicwilostat ?
Il est tout à fait, intkwaiit~ dc comparer les rksultats du calcul numtric~ue
avw lw rkultats
du cald formc,l. C’est c’c gtnrc dc probkmc que Fourier a trait6 et, pour lcqwl il a l,rouvC la
solution sous forme d’un dfvcloppcmrrit, en s6ric dc sinus et, tic cosinus qui. ai~,joiud’Iiui.
porte
son nom (TlGwrie ;inalytiquc tic la. dialeur, 1822).
On trouvera sur lc Wcb (*) 1 e programme chaleur . c qui tr;i,ite ce prol)l?mc~.
6. Résolution des équations de type hyperbolique (méthode explicite)
Koils rec~hrrcllons lme fonction Q qui prend certaines valeurs sur le bord tl’lm domaine ct qui
ol+it à. l’kluat,ion suivaritc :
c~xprrssion dans l;tquelle c est une cwnst,antc
appelée cCkrit,P de l’on&~ libre tlrtris le milicu
corisidér6 (vit,csse de phase).
La fonct,ion dkpentl des trois variables tl’cspaw XT, y. z ct de la variabk~ de temps t. Comme
prtcklcmment. pour 6tudier l’intégration de cette 6qu;ttion. nous nc wnservons qu(~ la seule
coordorm~e
cl’csl~ac:c: C E . L’kpiat,ion SC‘ rkluit alors à, l‘expression :
iS”Q>(z; t)
1 a2ù,
arr”
- (f2 (yt2
6.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Comme préréclcmmrnt, nous clioisissoiis im maillage r&g&X”, et la maille 6ltmentairc a la taille
hz&. Nous pouvons &rirc :
Au moyen des tliff6rences finies, l’expression de l’équat,ion devient :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
225
Une plaque homogène cl’6paissr:ur / = 10 cm est, portbe n la tcmpk;tt,urr uniforme 8,) = 90 “C. Au
temps t = 0. elle est plong6c dans un réservoir tl’e;ru à la température 01 = 10 “C suffisan~mrnt~
grand et lkri agit,6 pour que l’on puisse adnwt,tre que l’éncrgic cklée par la plqur: ne change
pas de faqon notalde la. températurc du réservoir. On SC propose de d6tc:rminer
la. tempPrat~ure
?i l’intbricwr de la plaque cn fonction de la tlistancc~ : 1: et du temps t (on notera la. sym6trie du
problème). LR plaque est en cuivre tlont le coefficient dc diffusion est D = 1.12 cn?s- ‘. Al1
bout dc combien de temps pouvons-nous atlmcttrr que la. t,empkdure est, à. nouveau uniforinc
dans la plaque, c’est-Mire lorsque la tc~mptraturc
la plus @lev+e nc tlbpa,sse que dc 0.1 “C la
tcmptrature du tlicwilostat ?
Il est tout à fait, intkwaiit~ dc comparer les rksultats du calcul numtric~ue
avw lw rkultats
du cald formc,l. C’est c’c gtnrc dc probkmc que Fourier a trait6 et, pour lcqwl il a l,rouvC la
solution sous forme d’un dfvcloppcmrrit, en s6ric dc sinus et, tic cosinus qui. ai~,joiud’Iiui.
porte
son nom (TlGwrie ;inalytiquc tic la. dialeur, 1822).
On trouvera sur lc Wcb (*) 1 e programme chaleur . c qui tr;i,ite ce prol)l?mc~.
6. Résolution des équations de type hyperbolique (méthode explicite)
Koils rec~hrrcllons lme fonction Q qui prend certaines valeurs sur le bord tl’lm domaine ct qui
ol+it à. l’kluat,ion suivaritc :
c~xprrssion dans l;tquelle c est une cwnst,antc
appelée cCkrit,P de l’on&~ libre tlrtris le milicu
corisidér6 (vit,csse de phase).
La fonct,ion dkpentl des trois variables tl’cspaw XT, y. z ct de la variabk~ de temps t. Comme
prtcklcmment. pour 6tudier l’intégration de cette 6qu;ttion. nous nc wnservons qu(~ la seule
coordorm~e
cl’csl~ac:c: C E . L’kpiat,ion SC‘ rkluit alors à, l‘expression :
iS”Q>(z; t)
1 a2ù,
arr”
- (f2 (yt2
6.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Comme préréclcmmrnt, nous clioisissoiis im maillage r&g&X”, et la maille 6ltmentairc a la taille
hz&. Nous pouvons &rirc :
Au moyen des tliff6rences finies, l’expression de l’équat,ion devient :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
225