14. I.NT&RATI~N
DE:S ÉQU.~TIONS
A~IX DÉRIVÉES P ARTIELLES
5.4. Application : Refroidissement d’une plaque homogène
Une plaqué hmnog~?nc d’kpaisscur i ! = 10 cm mt port& a la. trrup~rat~ure uniforme H o = 90 “C. Au
temps f = 0, c>llc est, plong&; dans un rkrvoir d’eau 5 la température 01 = 10 “C suffisanirricnt
grand c:t, bim agit6 pour qiw l’on puisw admettre que l’briergie &lPc par la plaque nc clmngc
pa,s de fac;ori riotable la teinp&dure du réservoir. On sc propow dc dik:rrniner la ~,mipkrature
à l’int,Prieur dc la plaque fn fonct,ion dc lin distmw z c,t, du temps t (ou notera la symétrie du
prol)lèmr) La, plaqur est t‘11 cuivre dont le coefficient, de tliffusion est D = 1,12 crn”sP1 Au
tmut de cornl)ieii de tririps pouvons-nous adrncttrc qiic 1i L tcnipi:mture est 2. nouveau uniforme
dans la plaqw. c’est-k-&-c>
lorsqiw la, teinp6rdure la plus élevée ut tl6passc que dc 0.1 “C la
t~mip6ratim du tlicmnostat ?
Il est tout à, fait intérrssmt dr corripare~ les résultak du calcul riiirn6riqiic rwcc les rk1dtats
du c;kd formel. C‘est ce genre de problème que Fourier a t,raitF ct pour lcqwl il II trouv6 la
solutioii sous forme tl’uii d~velol)l>eriierit,
en série de sinus et tic cosinus qui, ai~,joiml’liui, pork
sou nom (Thkorie malytiyue de la cldrur, 1822).
On trouvera sur lc Wcb (*) 1 c progrmm~c chaleur. c qui t,raite ce prol~lèrne.
6. Résolution des équations de type hyperbolique (méthode explicite)
Nous rec:lirrc:lions
une fonction Q qui prend certaines valeurs sur le hortl d‘un doriiairic ct qui
obbit 5. l’kluatiori suivmtr :
expressioii dms laquelle (’ est une wnstarite appelbr c+kitt ck l’oritlc litm tlms 1~ milieu
prMdtrnnicnt. pour kt,utlicr l‘intPgrat,ion dc ccttc équation. noiis m coiis~mmis qw la seule
mordonnk: d’mpaw 2. L’klimtion sc rkluit alors à, l’~~xpression :
32q2, t)
1 dz@
3z”
r2 3t”
6.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Cornrnc pr@c~~derrirrierit. nous choisissons 1111 rriaillagt rkgulicr~ ct la rmilk 616rncml,airc~ a la tkllr
bzh‘t. Nous pouvorls écrire :
Au moyen clcs diff6rcncw finks, l’expression de l’iquatiorl tlcvicnt :
225
DE:S ÉQU.~TIONS
A~IX DÉRIVÉES P ARTIELLES
5.4. Application : Refroidissement d’une plaque homogène
Une plaqué hmnog~?nc d’kpaisscur i ! = 10 cm mt port& a la. trrup~rat~ure uniforme H o = 90 “C. Au
temps f = 0, c>llc est, plong&; dans un rkrvoir d’eau 5 la température 01 = 10 “C suffisanirricnt
grand c:t, bim agit6 pour qiw l’on puisw admettre que l’briergie &lPc par la plaque nc clmngc
pa,s de fac;ori riotable la teinp&dure du réservoir. On sc propow dc dik:rrniner la ~,mipkrature
à l’int,Prieur dc la plaque fn fonct,ion dc lin distmw z c,t, du temps t (ou notera la symétrie du
prol)lèmr) La, plaqur est t‘11 cuivre dont le coefficient, de tliffusion est D = 1,12 crn”sP1 Au
tmut de cornl)ieii de tririps pouvons-nous adrncttrc qiic 1i L tcnipi:mture est 2. nouveau uniforme
dans la plaqw. c’est-k-&-c>
lorsqiw la, teinp6rdure la plus élevée ut tl6passc que dc 0.1 “C la
t~mip6ratim du tlicmnostat ?
Il est tout à, fait intérrssmt dr corripare~ les résultak du calcul riiirn6riqiic rwcc les rk1dtats
du c;kd formel. C‘est ce genre de problème que Fourier a t,raitF ct pour lcqwl il II trouv6 la
solutioii sous forme tl’uii d~velol)l>eriierit,
en série de sinus et tic cosinus qui, ai~,joiml’liui, pork
sou nom (Thkorie malytiyue de la cldrur, 1822).
On trouvera sur lc Wcb (*) 1 c progrmm~c chaleur. c qui t,raite ce prol~lèrne.
6. Résolution des équations de type hyperbolique (méthode explicite)
Nous rec:lirrc:lions
une fonction Q qui prend certaines valeurs sur le hortl d‘un doriiairic ct qui
obbit 5. l’kluatiori suivmtr :
expressioii dms laquelle (’ est une wnstarite appelbr c+kitt ck l’oritlc litm tlms 1~ milieu
prMdtrnnicnt. pour kt,utlicr l‘intPgrat,ion dc ccttc équation. noiis m coiis~mmis qw la seule
mordonnk: d’mpaw 2. L’klimtion sc rkluit alors à, l’~~xpression :
32q2, t)
1 dz@
3z”
r2 3t”
6.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Cornrnc pr@c~~derrirrierit. nous choisissons 1111 rriaillagt rkgulicr~ ct la rmilk 616rncml,airc~ a la tkllr
bzh‘t. Nous pouvorls écrire :
Au moyen clcs diff6rcncw finks, l’expression de l’iquatiorl tlcvicnt :
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