5. Résolution des équations de type parabolique (méthode explicite)
5.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Cornriie prKdcrnrurnt~ nous choisissons un maillage rbgulier, ct, la maille ~lhncmtaire a la kille
cT:cSt. Nous pouvoiis écrire :
mqx, t)
~ qx + 6x, t) + q:x: - hr, t) ~ 2qn. t)
a2
.r..t
6:IJ
+D(.c, t)
~ qz t + n‘t) ~ q.c; t)
at
.r.t
h‘t
Au moyeu ch diff&ences finies. l’expression de 1’6qnatiorl dcvicnt :
5.2. Conduite du calcul pour obtenir la résolution approchée de l’équation de diffusion
Les valeurs cn chaque point du rrmillagc au temps 1 + ht ne dCpcnd(~rlt que tics vakurs calculks
à l’instant, t. La solut,ion du problCme est &tcrmirlC+ par une suite tl’oph-atious 6lhcmta~ires
cffcctui33 C I part,ir ch.3 coritlitions iiiitialcs, ct il est facile tic s’apcrcmY)ir que &tc~ m6tlde u’cst
pas itérative (les vsleurs changent, au cours du temps) :
qz. t + 6-t) = 9(Z) t) + g [fD(zr + ch. t) + qx - &r:, t) ~ ‘Lqx, t)]
Au temps t = 0, nous connaissons la valeur de @ CU t,ollt poiut, du maillage. Au temps ht. uous
calculoris au moyeu de la relation ci-dessus les valeurs en c‘llacluc~ poirlt ( 111 maillage. cm tenant
compte tics conditious iruposks au systhc @tu&+ (conditions aux limites). Puis nous cfhkuons
les calculs au temps 26t par le rr&nc: procéd6; ct, aiiisi clc suitr, ii11 tclll~>s 3Ot. . rsfk Nous
obtenons alors 1’Pvolution du syskhne au cours du temps.
5.3. Problème de stabilité
Nous ne pouvons las choisir u’irrlportc~ corumcnt 1 ~ : quadrillage de l’cspac~c~ (x. t) ct lr: ca.lcul
proposé est st~ablc lorsque la conditiori suivant,e est rcniplie :
cy valmt 2, 4 cm C i sclori qu’il y a une. tlcux ou trois coordoririCcs
d‘cyacc.
Le non-respect clc la condition de sta.lClitk est, sanctionuC~ irriirl~diatrrll~llt, : on obtient, très
rspidcrncnt ri’irriport,c quoi : ou ahoutit à uu tl@üsserncnt dc capac‘itb (overflow) qui produit un
arr?t de la rriachinc~.
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5.1. Maillage pour une coordonnée d’espace et la coordonnée de temps
Cornriie prKdcrnrurnt~ nous choisissons un maillage rbgulier, ct, la maille ~lhncmtaire a la kille
cT:cSt. Nous pouvoiis écrire :
mqx, t)
~ qx + 6x, t) + q:x: - hr, t) ~ 2qn. t)
a2
.r..t
6:IJ
+D(.c, t)
~ qz t + n‘t) ~ q.c; t)
at
.r.t
h‘t
Au moyeu ch diff&ences finies. l’expression de 1’6qnatiorl dcvicnt :
5.2. Conduite du calcul pour obtenir la résolution approchée de l’équation de diffusion
Les valeurs cn chaque point du rrmillagc au temps 1 + ht ne dCpcnd(~rlt que tics vakurs calculks
à l’instant, t. La solut,ion du problCme est &tcrmirlC+ par une suite tl’oph-atious 6lhcmta~ires
cffcctui33 C I part,ir ch.3 coritlitions iiiitialcs, ct il est facile tic s’apcrcmY)ir que &tc~ m6tlde u’cst
pas itérative (les vsleurs changent, au cours du temps) :
qz. t + 6-t) = 9(Z) t) + g [fD(zr + ch. t) + qx - &r:, t) ~ ‘Lqx, t)]
Au temps t = 0, nous connaissons la valeur de @ CU t,ollt poiut, du maillage. Au temps ht. uous
calculoris au moyeu de la relation ci-dessus les valeurs en c‘llacluc~ poirlt ( 111 maillage. cm tenant
compte tics conditious iruposks au systhc @tu&+ (conditions aux limites). Puis nous cfhkuons
les calculs au temps 26t par le rr&nc: procéd6; ct, aiiisi clc suitr, ii11 tclll~>s 3Ot. . rsfk Nous
obtenons alors 1’Pvolution du syskhne au cours du temps.
5.3. Problème de stabilité
Nous ne pouvons las choisir u’irrlportc~ corumcnt 1 ~ : quadrillage de l’cspac~c~ (x. t) ct lr: ca.lcul
proposé est st~ablc lorsque la conditiori suivant,e est rcniplie :
cy valmt 2, 4 cm C i sclori qu’il y a une. tlcux ou trois coordoririCcs
d‘cyacc.
Le non-respect clc la condition de sta.lClitk est, sanctionuC~ irriirl~diatrrll~llt, : on obtient, très
rspidcrncnt ri’irriport,c quoi : ou ahoutit à uu tl@üsserncnt dc capac‘itb (overflow) qui produit un
arr?t de la rriachinc~.
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