MANUEL
DE
CALCUL
NU&RIQVE
APPLIQUÉ
Maintenant, exprimons Q(i;j, k) au point M(a, j, k) en fonction des valeurs prises aux points
plus proches voisins de hi(i,j: k) :
qi, j, k) = g [a+ + l,j, k) + Q(i - l,j, k) + Q(i, j + 1, k)
+ Q(i;.j - 1, k) + @(i, j, k + 1) + @(1;,j> k - 1) ~ h”p(i,j, k)].
4.2. Méthode de Jacobi (1804-1851)
C’est une mkthodc itérative qui consiste à affecter aux nteuds du maillage une valeur arbitraire
de l’ordre de grandeur de celles qui SC situent, sur la frontière. La dcrniere relation i:tablic permet
alors de calculer tous les points adjacents à la frontière, lesquels sont les seuls à être modifiks.
La réitération de l’exploitation de la formule pcrrnet de proche en proche de modifier tous les
points du maillage. On montre que la méthode est convergente. Au rhe tour d’it,krat,ion; on écrit
les relations qui font appel aux calculs effectubs au (n - 1)’ :
d”‘(i> j, k) = ; [a+‘)(i + 1, j, k) + Q > (“--‘I(i - l>j, k) + Q+‘)(j,j + 1, k)
+ d’“-“(i,j - 1, k) + Q > (n-1)(“> j, k + 1) + Q +l)(i>j, k - 1) ~ h”p(i,j, k)]
D’un point de vue pratique, il faut deux tableaux pour mcttrc tn couvre cet algorithme. De
toute façon, il n’est pas trk utile de programmer cette procédure car la mCthode de Gauss-Scidcl
en est une importante amélioration.
4.3. Méthode de Gauss-Seidel (1821-1896)
On peut montrer que la technique itérative de Jacohi est convergente et ahsolumcnt convergente.
Gauss et Seidel ont profité de cette proprikti: pour améliorer la rnkthode de .Jacohi : au cours
du calcul, on peut faire immkdiaternent usage des valeurs qui viennent, d’êt,re calculkcs et, nous
n’avons plus besoin de sauvegarder les différents tours d’itbration. Nous n’avo11s plus besoin que
d’un seul tableau dans lequel les valeurs sont « écrasées » succcssivernent. Ccttc rnét,hode exigt
environ deux fois moins dc calculs que la mkthodc de Jacob car elle converge beaucoup plus
rapidement .
4.4. Application
On se propose d’étudier les équipotentielles d’une lampe triode que nous prksentons
assez
simplifik. Une larnpe triodc est constituée d’une cathode K, d’une anode A et d’une grille G1:
Gx, Gx, Gd, Gs, G(i. La figure 14.5, page ci-contre montre la coupe de cette lampe simplifike.
L’anode A est un cylindre métallique de rayon 1 cm port6 au potentiel 100 volt,s par rapport,
à la cathode qui SC trouve au potentiel zéro. La cathode est un simple fil métallique de rayon
négligeable placé sur liaxc du cylindre de l’anode. La grille est constituée dc six fils parallèles à la
cathode disposés régulièrement sur le cylindre de rayon T = 0,2 cm, ces six fils ktant rnaintenns
au Potent)iel -5 volts par rapport à la cathode. On se propose de déterminer la carte du potent,iel
dans un plan perpendiculaire à l’axe de la triode.
Pour ce faire, nous ferons usage des coordonnées polaires à, cause dc la symétrie cylindrique.
Comme le probkme admet une symétrie d’ordre six, nous n’avons donc besoin pour effectuer
les calculs que de faire varier l’angle H dans l’intervalle (0,7r/3) t
e , nous compléterons ensuite
par symétrie.
Nous choisissons le rnaillage suivant : 68 = 7r/36 et 6~ = O:l cm (cf. Fig. 14.6. page ci-contre).
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DE
CALCUL
NU&RIQVE
APPLIQUÉ
Maintenant, exprimons Q(i;j, k) au point M(a, j, k) en fonction des valeurs prises aux points
plus proches voisins de hi(i,j: k) :
qi, j, k) = g [a+ + l,j, k) + Q(i - l,j, k) + Q(i, j + 1, k)
+ Q(i;.j - 1, k) + @(i, j, k + 1) + @(1;,j> k - 1) ~ h”p(i,j, k)].
4.2. Méthode de Jacobi (1804-1851)
C’est une mkthodc itérative qui consiste à affecter aux nteuds du maillage une valeur arbitraire
de l’ordre de grandeur de celles qui SC situent, sur la frontière. La dcrniere relation i:tablic permet
alors de calculer tous les points adjacents à la frontière, lesquels sont les seuls à être modifiks.
La réitération de l’exploitation de la formule pcrrnet de proche en proche de modifier tous les
points du maillage. On montre que la méthode est convergente. Au rhe tour d’it,krat,ion; on écrit
les relations qui font appel aux calculs effectubs au (n - 1)’ :
d”‘(i> j, k) = ; [a+‘)(i + 1, j, k) + Q > (“--‘I(i - l>j, k) + Q+‘)(j,j + 1, k)
+ d’“-“(i,j - 1, k) + Q > (n-1)(“> j, k + 1) + Q +l)(i>j, k - 1) ~ h”p(i,j, k)]
D’un point de vue pratique, il faut deux tableaux pour mcttrc tn couvre cet algorithme. De
toute façon, il n’est pas trk utile de programmer cette procédure car la mCthode de Gauss-Scidcl
en est une importante amélioration.
4.3. Méthode de Gauss-Seidel (1821-1896)
On peut montrer que la technique itérative de Jacohi est convergente et ahsolumcnt convergente.
Gauss et Seidel ont profité de cette proprikti: pour améliorer la rnkthode de .Jacohi : au cours
du calcul, on peut faire immkdiaternent usage des valeurs qui viennent, d’êt,re calculkcs et, nous
n’avons plus besoin de sauvegarder les différents tours d’itbration. Nous n’avo11s plus besoin que
d’un seul tableau dans lequel les valeurs sont « écrasées » succcssivernent. Ccttc rnét,hode exigt
environ deux fois moins dc calculs que la mkthodc de Jacob car elle converge beaucoup plus
rapidement .
4.4. Application
On se propose d’étudier les équipotentielles d’une lampe triode que nous prksentons
assez
simplifik. Une larnpe triodc est constituée d’une cathode K, d’une anode A et d’une grille G1:
Gx, Gx, Gd, Gs, G(i. La figure 14.5, page ci-contre montre la coupe de cette lampe simplifike.
L’anode A est un cylindre métallique de rayon 1 cm port6 au potentiel 100 volt,s par rapport,
à la cathode qui SC trouve au potentiel zéro. La cathode est un simple fil métallique de rayon
négligeable placé sur liaxc du cylindre de l’anode. La grille est constituée dc six fils parallèles à la
cathode disposés régulièrement sur le cylindre de rayon T = 0,2 cm, ces six fils ktant rnaintenns
au Potent)iel -5 volts par rapport à la cathode. On se propose de déterminer la carte du potent,iel
dans un plan perpendiculaire à l’axe de la triode.
Pour ce faire, nous ferons usage des coordonnées polaires à, cause dc la symétrie cylindrique.
Comme le probkme admet une symétrie d’ordre six, nous n’avons donc besoin pour effectuer
les calculs que de faire varier l’angle H dans l’intervalle (0,7r/3) t
e , nous compléterons ensuite
par symétrie.
Nous choisissons le rnaillage suivant : 68 = 7r/36 et 6~ = O:l cm (cf. Fig. 14.6. page ci-contre).
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