14. INTÉGRATION
DE~ RQUAT~ONS .~TJX DÉIIIV~~ES F.ARTIELLE~
Figure 14.4. Coorrlonm2e.ç sph,Criqur.s.
Dans tic nornbrcux cas p( F) = 0, ct nous tlevons résoudre IIIE: équation dc Laplaw :
A@(F) = 0.
Les fonctions qui olkksent à cette CquaLtion portent, un nom. on lts appelle fonctions
harmoniques. La recherche de CCL> solutions dais lc cas des symibks usuelles s’t’ffectuc sous
la forme dc produits de Laplace et elle aboutit à un bon noml~rc dc fonctions dites spéciales,
al1trenient dit ccllcs qui jouent un rôle important en analyse : sinus, wsinus, fonctions tic
Legendrc associks, fonctions dc Weber-Hermite, dc Bcssel. de Neumann. de Mathieu ctc:.
Dans lc cas de l’équation dc Poisson, IIOUS connaissons une solution particulib :
du ét,ant 1’6kment de volume. Il suffit d’ajouter c:ett,e solution aux solutions dc l’équation dc
Laplace (kluation sans sec:ontl membre)
pour obtenir la solution complète (kyuatiori linbaire).
1Clallleureuscmcnt, lorsque le probkne étudik n’admet pas dc symktries simples, 1~:s solutions
formelles drviennent cx<:c:pt,iorlrlelles
ct, pratiquement dans tous les cas il f’aut avoir recours au
calcul nurri&icliie.
4.1. Conduite du calcul permettant la résolution numérique de l’équation de Poisson
Par raison de simplicités, 1101x3 étudierons le probkmc ths un rcpèrc~ cartésien ortlioiiormt? ct
nous choisirons 63; = 6y = 6z = h.
221
DE~ RQUAT~ONS .~TJX DÉIIIV~~ES F.ARTIELLE~
Figure 14.4. Coorrlonm2e.ç sph,Criqur.s.
Dans tic nornbrcux cas p( F) = 0, ct nous tlevons résoudre IIIE: équation dc Laplaw :
A@(F) = 0.
Les fonctions qui olkksent à cette CquaLtion portent, un nom. on lts appelle fonctions
harmoniques. La recherche de CCL> solutions dais lc cas des symibks usuelles s’t’ffectuc sous
la forme dc produits de Laplace et elle aboutit à un bon noml~rc dc fonctions dites spéciales,
al1trenient dit ccllcs qui jouent un rôle important en analyse : sinus, wsinus, fonctions tic
Legendrc associks, fonctions dc Weber-Hermite, dc Bcssel. de Neumann. de Mathieu ctc:.
Dans lc cas de l’équation dc Poisson, IIOUS connaissons une solution particulib :
du ét,ant 1’6kment de volume. Il suffit d’ajouter c:ett,e solution aux solutions dc l’équation dc
Laplace (kluation sans sec:ontl membre)
pour obtenir la solution complète (kyuatiori linbaire).
1Clallleureuscmcnt, lorsque le probkne étudik n’admet pas dc symktries simples, 1~:s solutions
formelles drviennent cx<:c:pt,iorlrlelles
ct, pratiquement dans tous les cas il f’aut avoir recours au
calcul nurri&icliie.
4.1. Conduite du calcul permettant la résolution numérique de l’équation de Poisson
Par raison de simplicités, 1101x3 étudierons le probkmc ths un rcpèrc~ cartésien ortlioiiormt? ct
nous choisirons 63; = 6y = 6z = h.
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