14. INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLE~
s
Remarque 2 : L’obtention de solutions générales aux différents types de problèmes présentés
dépend de la nature de l’équation aux dérivées partielles, mais c’est surtout la forme géométrique
de la frontière (qui possède ou non des propriétés de symétrie) qui permet de savoir si
l’on doit s’orienter vers la recherche de solutions formelles ou vers la recherche de solutions
numériques.
2. Les opérateurs de différence
Au domaine D on superpose donc un maillage le plus adapté possible à la forme géométrique
de D. Quelle que soit la méthode utilisée, il faut pouvoir exprimer les opérateurs différentiels en
fonction des différences fournies par le choix discret des points (nœuds du maillage). Ici, notre
propos se limite aux opérateurs différence première et différence seconde, cependant, le cas
échéant, la généralisation peut se faire sans difficulté, mais il est rare de rencontrer des dérivées
partielles au-delà de deux.
Dans un repère cartésien orthonormé à deux dimensions (2, y), on considère une fonction
«bien élevée » @(CC, y) qui possède les bonnes propriétés de régularité (continuité, dérivabilité
au moins à l’ordre trois, etc.). Soient trois points tous distincts A(xa, ya), B(q,, yb) et C(x,, yc)
pour lesquels nous avons : 2, < xb < x,, et yu. < yb < yC. La dérivée partielle en B par rapport
à x est approchée par l’opérateur différence première ainsi défini :
La dérivée partielle en B par rapport à y est donnee par l’expression :
d@(xb, Yb)
= dQ>(xb>Y)
~ @(xb,!/b)
- @(%y~)
~ @(xb, &‘c) - @(xb,Yb)
dX
Yb
&Y
Y/,
Y11 ~ Ya
Yc - Yb
La dérivée partielle d’ordre deux par rapport à x, calculée en B, est approchée par l’opérateur
différence seconde ainsi défini :
@(xc, ?/b) - @(zb, !/b) _ @(xb: Yb) ~ @(%m
!/b)
1
xb - 2,
xc - Xb
la dérivée partielle d’ordre deux par rapport à y s’écrit :
d2@(xbd lyb = & (““@$>y)) Iyb
dy ”
~
@(xb, Yc) - @(xb, Yb) _ @(xb, Yb) - @(xb> !h)
1
.
!/c - Yb
!/b - YY,)
Yc - Yb
Il n’est pas très difficile de voir que, compte tenu des bonnes propriétés de la fonction a, les
opérateurs de différence tendent vers les opérateurs différentiels lorsque xb - x, tend vers zéro
(ainsi que 2, - xb) ou encore lorsque L / b - yYn tend vers zéro (ainsi que y, ~ yb).
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Remarque 2 : L’obtention de solutions générales aux différents types de problèmes présentés
dépend de la nature de l’équation aux dérivées partielles, mais c’est surtout la forme géométrique
de la frontière (qui possède ou non des propriétés de symétrie) qui permet de savoir si
l’on doit s’orienter vers la recherche de solutions formelles ou vers la recherche de solutions
numériques.
2. Les opérateurs de différence
Au domaine D on superpose donc un maillage le plus adapté possible à la forme géométrique
de D. Quelle que soit la méthode utilisée, il faut pouvoir exprimer les opérateurs différentiels en
fonction des différences fournies par le choix discret des points (nœuds du maillage). Ici, notre
propos se limite aux opérateurs différence première et différence seconde, cependant, le cas
échéant, la généralisation peut se faire sans difficulté, mais il est rare de rencontrer des dérivées
partielles au-delà de deux.
Dans un repère cartésien orthonormé à deux dimensions (2, y), on considère une fonction
«bien élevée » @(CC, y) qui possède les bonnes propriétés de régularité (continuité, dérivabilité
au moins à l’ordre trois, etc.). Soient trois points tous distincts A(xa, ya), B(q,, yb) et C(x,, yc)
pour lesquels nous avons : 2, < xb < x,, et yu. < yb < yC. La dérivée partielle en B par rapport
à x est approchée par l’opérateur différence première ainsi défini :
La dérivée partielle en B par rapport à y est donnee par l’expression :
d@(xb, Yb)
= dQ>(xb>Y)
~ @(xb,!/b)
- @(%y~)
~ @(xb, &‘c) - @(xb,Yb)
dX
Yb
&Y
Y/,
Y11 ~ Ya
Yc - Yb
La dérivée partielle d’ordre deux par rapport à x, calculée en B, est approchée par l’opérateur
différence seconde ainsi défini :
@(xc, ?/b) - @(zb, !/b) _ @(xb: Yb) ~ @(%m
!/b)
1
xb - 2,
xc - Xb
la dérivée partielle d’ordre deux par rapport à y s’écrit :
d2@(xbd lyb = & (““@$>y)) Iyb
dy ”
~
@(xb, Yc) - @(xb, Yb) _ @(xb, Yb) - @(xb> !h)
1
.
!/c - Yb
!/b - YY,)
Yc - Yb
Il n’est pas très difficile de voir que, compte tenu des bonnes propriétés de la fonction a, les
opérateurs de différence tendent vers les opérateurs différentiels lorsque xb - x, tend vers zéro
(ainsi que 2, - xb) ou encore lorsque L / b - yYn tend vers zéro (ainsi que y, ~ yb).
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